單點緊化

單點緊化(one-point compactification)亦稱亞歷山德羅夫緊化，是一種特殊的緊化。將拓撲空間嵌入緊空間的一種方式。設(X，J)是拓撲空間，∞是一個抽象的點，令X*=X∪{∞}，J*=J∪{U⊂X*|X*－U是X的緊閉集}，則(X*，J*)是緊的拓撲空間，X是它的子空間，圓周和球面分別可看作是直線和平面經單點緊化而得到的，X*是豪斯多夫空間的充要條件是X為局部緊的豪斯多夫空間。由於緊豪斯多夫空間有很多好的拓撲性質。利用單點緊化采研究局部緊豪斯多夫空間往往是一種有效的方法。

基本介紹

• 中文名：單點緊化
• 外文名：one-point compactification
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：拓撲學
• 別名：亞歷山德羅夫緊化

基本概念

定義1 一個拓撲空間是局部緊緻的，如果對於任一，存在一個包含於X的一個緊緻子集之中的鄰域。

例1任一緊緻空間當然是局部緊緻的，由於每一個都有既作為它的一個鄰域又作為包含此鄰域的一個緊緻集的X。

例2實軸R是局部緊緻的，由於對於任一，我們有而是緊緻的。

例3R的在標準拓撲中的子空間Q不是局部緊緻的。

定義2 設x是一個豪斯多夫空間，Y等於X與附加的單點(記為)的並，(見圖1)對上的一個拓撲，把以下兩種類型的子集定義為開集：

(1)在X中是開集；

(2)形如的集合，其中C是X的一個緊緻子集。

圖1

我們稱所得到的拓撲空間Y為X的單點緊化。

相關性質

當然，我們需要證實，此開集族所描述的恰好是一個拓撲，下面進行證實。

定理1

設X是一個豪斯多夫空間，在X單點緊化的定義中的子集族，是Y上的一個拓撲。

證明： 空集是Y中的開集，由於它是X中的一個開子集。整個集合Y本身，在Y中也是開集，由於它在Y中是空集的補集，而是X的一個緊緻子集。

為了證明Y中開集的有限交在Y中是開集，只要檢驗一對開集U與V的交就可以了，然後再用數學歸納法，就可以得到任意有限交的結果了。為此，設U與V是Y中的開集。我們需要檢驗3種不同的情況，首先，如果U與V都是X中的開集，那么是X中的一個開集，從而使它成為Y中的一個開集。其次，假定與，其中是X的緊緻子集。於是。由於緊緻集的有限並仍是緊緻的，因此是X的一個緊緻子集。於是得出，對於X的一個緊緻子集C，因而在這種情況下，在Y中同樣是開集。最後，假定U是X中的開集，而，其中C是X的一個緊緻子集。那么，由於不在U中，於是得出。而C在X中是閉的，由於它在豪斯多夫空間X中是一個緊緻集，因此，在X中是開的，蘊涵在X中為開。於是在X中為開，從而在此時使得它在Y中也為開。於是得出，如果U與V是Y中的任意開集，那么在Y中也是開的，這正是我們所要證明的。

最後，我們證明開集的任意並是開集，我們可以把這一任意並表示為以下的形式：

其中每個在X中是開的，而每個是X的一個緊緻子集。集合在X中是開的，我們用U來表示它，此外，

又由於任一集合是豪斯多夫空間X的緊緻子集，是X的一個緊緻子集。設，我們發現且C是X的一個緊緻子集。因此，我們僅需要驗證在Y中是開的，其中U在X中是開的，而C是X的一個緊緻子集。設為U在X中的補，那么C’在X中是閉的，因而

C是豪斯多夫空間X的一個緊緻子集，所以C在X中是閉的。因此，在X中是閉的，而由於是緊緻集C的一個子集，於是得到是X的一個緊緻子集，因此，是Y中的一個開集，蘊涵是Y中的一個開集。於是得出，Y中開集的任意並是Y中的一個開集。所以，在X單點緊化的定義中所描述的Y的子集族是Y上的一個拓撲。

X是單點緊化的一個子集，因此，X從Y傳承一個子空間拓撲，以下的定理指出這個子空間拓撲與原拓撲是相同的，因而我們可以把X看作是它的單點緊化的一個子空間。

定理2

設X是一個豪斯多夫空間，並設是它的單點緊化，那么傳承自Y的X的子空間拓撲，等於X上的原拓撲。

接下來，我們說明使用術語“緊緻化”的理由。

定理3

設X是一個豪斯多夫空間，它的單點緊化,是緊緻的。

定理4

設X是一個局部緊緻的豪斯多夫空間，那么，X的單點緊化是豪斯多夫的。

證明：為了看出Y是豪斯多夫的，設x與y是Y中的點。在第一種情況下，假定x與y都在X中，由於X是豪斯多夫空間，我們就可以在X中找到分別包含x與y的分離開集U與V，集合U與V在Y中也是開集，因而在Y中存在x與y的分離鄰域。在第二種情況下，設且。由於X是局部緊緻的，因此在包含y的一個鄰域U的X中，存在一個緊緻子集C。Y中的開集和U是分離集，且分別包含x與y。於是在這種情況下，在Y中也存在x與y的分離鄰域，因此，Y是豪斯多夫的。