單點緊化

單點緊化

單點緊化(one-point compactification)亦稱亞歷山德羅夫緊化,是一種特殊的緊化。將拓撲空間嵌入緊空間的一種方式。設(X,J)是拓撲空間,∞是一個抽象的點,令X*=X∪{∞},J*=J∪{U⊂X*|X*-U是X的緊閉集},則(X*,J*)是緊的拓撲空間,X是它的子空間,圓周和球面分別可看作是直線和平面經單點緊化而得到的,X*是豪斯多夫空間充要條件是X為局部緊的豪斯多夫空間。由於緊豪斯多夫空間有很多好的拓撲性質。利用單點緊化采研究局部緊豪斯多夫空間往往是一種有效的方法。

基本介紹

  • 中文名:單點緊化
  • 外文名:one-point compactification
  • 所屬學科:數學
  • 所屬領域:拓撲學
  • 別名:亞歷山德羅夫緊化
基本概念,相關性質,定理1,定理2,定理3,定理4,

基本概念

定義1 一個拓撲空間是局部緊緻的,如果對於任一
,存在一個包含於X的一個緊緻子集之中的鄰域。
例1任一緊緻空間當然是局部緊緻的,由於每一個
都有既作為它的一個鄰域又作為包含此鄰域的一個緊緻集的X。
例2實軸R是局部緊緻的,由於對於任一
,我們有
是緊緻的。
例3R的在標準拓撲中的子空間Q不是局部緊緻的。
定義2 設x是一個豪斯多夫空間,Y等於X與附加的單點(記為
)的並,(見圖1)對
上的一個拓撲,把以下兩種類型的子集定義為開集:
(1)在X中是開集;
(2)形如
的集合,其中C是X的一個緊緻子集。
圖1圖1
我們稱所得到的拓撲空間Y為X的單點緊化

相關性質

當然,我們需要證實,此開集族所描述的恰好是一個拓撲,下面進行證實。

定理1

設X是一個豪斯多夫空間,在X單點緊化的定義中
子集族,是Y上的一個拓撲
證明: 空集是Y中的開集,由於它是X中的一個開子集。整個集合Y本身,在Y中也是開集,由於它在Y中是空集
的補集,而
是X的一個緊緻子集。
為了證明Y中開集的有限交在Y中是開集,只要檢驗一對開集U與V的交就可以了,然後再用數學歸納法,就可以得到任意有限交的結果了。為此,設U與V是Y中的開集。我們需要檢驗3種不同的情況,首先,如果U與V都是X中的開集,那么
是X中的一個開集,從而使它成為Y中的一個開集。其次,假定
,其中
是X的緊緻子集。於是
。由於緊緻集的有限並仍是緊緻的,因此
是X的一個緊緻子集。於是得出,對於X的一個緊緻子集C,
因而在這種情況下,
在Y中同樣是開集。最後,假定U是X中的開集,而
,其中C是X的一個緊緻子集。那么,由於
不在U中,於是得出
。而C在X中是閉的,由於它在豪斯多夫空間X中是一個緊緻集,因此,
在X中是開的,蘊涵
在X中為開。於是
在X中為開,從而在此時使得它在Y中也為開。於是得出,如果U與V是Y中的任意開集,那么
在Y中也是開的,這正是我們所要證明的。
最後,我們證明開集的任意並是開集,我們可以把這一任意並表示為以下的形式:
其中每個
在X中是開的,而每個
是X的一個緊緻子集。集合
在X中是開的,我們用U來表示它,此外,
又由於任一集合
是豪斯多夫空間X的緊緻子集,
是X的一個緊緻子集。設
,我們發現
且C是X的一個緊緻子集。因此,我們僅需要驗證
在Y中是開的,其中U在X中是開的,而C是X的一個緊緻子集。設
為U在X中的補,那么C’在X中是閉的,因而
C是豪斯多夫空間X的一個緊緻子集,所以C在X中是閉的。因此,
在X中是閉的,而由於
是緊緻集C的一個子集,於是得到
是X的一個緊緻子集,因此,
是Y中的一個開集,蘊涵
是Y中的一個開集。於是得出,Y中開集的任意並是Y中的一個開集。所以,在X單點緊化的定義中所描述的Y的子集族是Y上的一個拓撲。
X是單點緊化
的一個子集,因此,X從Y傳承一個子空間拓撲,以下的定理指出這個子空間拓撲與原拓撲是相同的,因而我們可以把X看作是它的單點緊化的一個子空間。

定理2

設X是一個豪斯多夫空間,並設
是它的單點緊化,那么傳承自Y的X的子空間拓撲,等於X上的原拓撲。
接下來,我們說明使用術語“緊緻化”的理由。

定理3

設X是一個豪斯多夫空間,它的單點緊化,
是緊緻的。

定理4

設X是一個局部緊緻的豪斯多夫空間,那么,X的單點緊化
是豪斯多夫的。
證明:為了看出Y是豪斯多夫的,設x與y是Y中的點。在第一種情況下,假定x與y都在X中,由於X是豪斯多夫空間,我們就可以在X中找到分別包含x與y的分離開集U與V,集合U與V在Y中也是開集,因而在Y中存在x與y的分離鄰域。在第二種情況下,設
。由於X是局部緊緻的,因此在包含y的一個鄰域U的X中,存在一個緊緻子集C。Y中的開集
和U是分離集,且分別包含x與y。於是在這種情況下,在Y中也存在x與y的分離鄰域,因此,Y是豪斯多夫的。

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