吉洪諾夫空間

在拓撲學和相關的數學領域中，吉洪諾夫空間或完全正則空間是特定優良種類的拓撲空間。這些條件是分離公理的個例。

吉洪諾夫空間得名於安德列·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫（英語：Andrey Nikolayevich Tychonoff），他的俄語名(Тихонов)也翻譯為 “Tychonov”、“Tikhonov”、“Tihonov”或“Tichonov”。

基本介紹

• 中文名：吉洪諾夫空間
• 外文名：Tychonoff space
• 領域：數學

定義

假定X是拓撲空間。X是完全正則空間，若且唯若給定任何閉集F和任何不屬於F的點x，存在從X到實直線R的連續函式f使得f(x)為0和f(y)為1對於所有F中的y。用“空想家”術語來說，這個條件聲稱x和F可以由函式分離。X是吉洪諾夫空間或T_3½空間或T_π空間或完全T₃空間，若且唯若它是完全正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語“完全正則”和涉及“T”的術語使用了不同的定義。我們這裡給出的定義是今天最常用；但是某些作者切換了兩類術語的意義，或者把它們用做同一個條件的同義詞。在這裡，我們直率的使用術語“完全正則”和“吉洪諾夫”，但避免不太明晰的術語“T”。在其他文獻中，你應該仔細找出作者使用的是什麼術語。(短語“完全正則豪斯多夫”總是無歧義的意味著吉洪諾夫空間。)

完全正則空間和吉洪諾夫空間通過柯爾莫果洛夫商關聯起來的。拓撲空間是吉洪諾夫空間，若且唯若它是完全正則空間和T₀空間二者。在另一方面，一個空間是完全正則空間，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商是吉洪諾夫空間。

例子和反例

在數學分析中研究的幾乎所有拓撲空間都是吉洪諾夫空間，或至少是完全正則空間。例如，實直線是在標準歐幾里德拓撲下的吉洪諾夫空間。其他例子包括：

• 所有度量空間是吉洪諾夫空間；所有偽度量空間是完全正則空間。
  
• 所有局部緊緻正則空間是完全正則的，因此所有局部緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
  
• 特別是，所有拓撲流形是吉洪諾夫空間。
  
• 所有全序集合帶有序拓撲是吉洪諾夫空間。
  
• 所有拓撲群是完全正則空間。
  
• 推廣了度量空間和拓撲群二者，所有一致空間都是完全正則的。反過來也是真的:所有完全正則空間是可一致化的。
  
• 所有CW復形是吉洪諾夫空間。
  
• 所有正規正則空間是完全正則的，而所有正規豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
  
• Niemytzki平面是吉洪諾夫空間但非正規空間的一個例子。
  

性質

保持

完全正則性和吉洪諾夫性質關於始拓撲是表現良好的。特別是，選取任意始拓撲保持完全正則性，選取點分離始拓撲保持吉洪諾夫性質。可得出:

• 所有完全正則空間或吉洪諾夫空間的子空間都有相同的性質。
  
• 非空乘積空間是完全正則(或吉洪諾夫的)，若且唯若每個函子空間是完全正則(或吉洪諾夫的)。
  

類似所有分離公理，選取終拓撲不保持完全正則性。特別是，完全正則空間的商空間不必須是正則空間。吉洪諾夫空間的商空間甚至不必須是豪斯多夫空間。有Moore平面的閉合商作為反例。

實數值連續函式

對於任何拓撲空間X，設C(X)指示在X上的實數值連續函式族，並設C*(X)是有界實數值函式的子集。

完全正則空間可以特徵化為它們的拓撲完全確定自C(X)或C*(X)的性質。特別是:

• 空間X是完全正則的，若且唯若它有引發自C(X)或C*(X)的始拓撲。
  
• 空間X是完全正則的，若且唯若所有閉集可以被寫為X中零集合族的交集(就是說零集合形成給X的閉集的基)。
  
• 空間X是完全正則的，若且唯若X的餘零集合形成X的拓撲的基。
  

給定任意拓撲空間(X,τ)有一種普遍方式對(X,τ)關聯上一個完全正則空間。設ρ是在引發自C_τ(X)的X上的始拓撲，或等價的說，從(X,τ)中的餘零集合的基生成的拓撲。則ρ將是比τ粗的X上的最細完全正則拓撲。這種構造是普遍性的，在任何到完全正則空間Y的連續函式

都將在(X,ρ)上連續的意義上。用範疇論的語言，從(X,τ)到(X,ρ)的函子左伴隨於包含函子CReg→Top。因此完全正則空間的範疇CReg是拓撲空間範疇Top的反射子範疇。通過選取柯爾莫果洛夫商，可以看出吉洪諾夫空間的子範疇也是反射的。

可以證明在上述構造中C_τ(X)=C_ρ(X)，所以環C(X)和C*(X)典型的只在完全正則空間X中研究。

嵌入

吉洪諾夫空間完全就是那些可以嵌入到緊緻豪斯多夫空間內的空間。更精確地說，對於所有吉洪諾夫空間X，存在緊緻豪斯多夫空間K使得X同胚於K的一個子空間。

事實上，你總是可以選擇K為立方體(就是說，單位區間的可能無限乘積)。所有立方體都是緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫定理的一個結論。因為所有緊緻豪斯多夫空間的子空間都是吉洪諾夫空間，所以:

• 拓撲空間是吉洪諾夫空間，若且唯若它可以被嵌入一個立方體中。
  

緊緻化

特別有趣的嵌入是X的像是K中的稠密集；這叫做X的豪斯多夫緊緻化。給定任何吉洪諾夫空間X到緊緻豪斯多夫空間K的嵌入，X在K中的像的閉包是X的緊緻化。

在豪斯多夫緊緻化中，有一個唯一“最一般”的，斯通–切赫緊緻化βX。它由如下泛性質刻畫，給定從X到任何其他緊緻豪斯多夫空間Y的連續映射f，有一個唯一的從βX到Y連續映射g擴張f，在f是g和j的複合意義上。

一致結構

完全正則性正好是在拓撲空間上存在一致結構的必需條件。換句話說，所有一致空間都有完全正則拓撲，而所有完全正則空間X是可一致化空間。拓撲空間允許分離的一致結構若且唯若它是吉洪諾夫空間。

給定完全正則空間X通常存在多於一個X上的一致結構相容於X的拓撲。但是，總是有最細一致結構，叫做X的精細一致結構。如果X是吉洪諾夫空間，則可以選擇一致結構使得βX成為一致空間X的完全。