可剖分空間

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。

可剖分空間(Ctriangulated space)亦稱彎曲多面體。是一類拓撲空間

基本介紹

  • 中文名:可剖分空間
  • 外文名:Ctriangulated space
  • 領域:數學
  • 別稱:彎曲多面體
  • 性質:拓撲空間
  • 意義:推廣復形的研究結果
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概念

可剖分空間(Ctriangulated space)亦稱彎曲多面體。是一類拓撲空間。為了使復形的研究結果適用於更廣範圍的拓撲空間,如球面、環面等,可做如下推廣:設X是拓撲空間,若存在單純復形K與同胚映射f:|K|→X,則稱X為可剖分空間,(K,f)或K稱為X的一個剖分或單純剖分。為了和多面體|K|加以區別,X稱為彎曲多面體,K中單形的同胚像稱為彎曲單形,全體彎曲單形的集合稱為彎曲復形。

拓撲空間

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合,並使用了“鄰域”概念,根據這一概念建立了抽象空間的完整理論,後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代,原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究,並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性,他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後,法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念,使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念,推廣了距離空間,還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間,提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外,美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性,1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論,為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展,不斷取得新的成果。
一般拓撲學的基本研究對象。確定了拓撲T的集合X稱為拓撲空間,記為(X,T)。具有拓撲結構的抽象空間是弗雷歇(Fréchet,M.-R.)於1906年和里斯(Riesz,F.(F.))於1907年首先引進的.弗雷歇用收斂序列,里斯用聚點分別定義了他們的空間。但里斯的定義過於一般且比較複雜,弗雷歇的定義過於狹窄.第一個令人滿意的拓撲空間的定義是豪斯多夫(Hausdorff,F.)於1914年用鄰域系提出的。他的定義發展了希爾伯特(Hilbert,D.)於1902年和外爾(Weyl,(C.H.)H.)於1913年的思想。希爾伯特和外爾用鄰域分別給出平面和黎曼曲面的一種公理描述。而豪斯多夫將他們引進的概念給出適當的一般化,並發展成有系統且詳盡的一般理論,從而奠定了一般拓撲學這一學科。稍後,穆爾(Moore,R.L.)於1916年用開集系,庫拉托夫斯基(Kuratowski,K.)於1922年用閉包運算元分別提出另一種公理系統,它們都是等價的。還可用閉集系、內部運算元、收斂類等各種不同公理系統刻畫拓撲空間。目前較常用的是開集系、鄰域系或閉包運算元等公理系統建立拓撲空間。

單形

單形是點、線段、三角形和四面體的高維推廣。它是構成多面體的“磚塊”。設a0,a1,a2,…,aq是n維歐氏空間
中幾何無關點組,
中點集:
稱為以a0,a1,…,aq為頂點的q維單純形,簡稱q維單形,記為sq=(a0,a1,a2,…,aq),有序數組(λ0,λ1,…,λq)稱為點x在q維單形中的重心坐標,記為x=(λ0,λ1,…,λq)。設=(a0,a1,…,aq)是q維單形,重心坐標為:
的點s稱為單形的重心。1維單形的重心是線段的中點,2維單形的重心是三角形的三條中線的交點。若單形sq=(a0,a1,…,aq)R,{i0,i1,…,ir}{0,1,2,…,q},則ai0,ai1,…,air是幾何無關點組。從而R中有r維單形,sq=(ai0,ai1,ai2,…,air),sr稱為單形sq的一個r維面,記為sr≤sq。當r<q時,稱為的真面,1維面也稱為棱。設sq為n維歐氏空間R中的q維單形,sq中重心坐標全為正數的點稱為單形sq的內點,至少有一個重心坐標為零的點稱為單形的邊緣點。q維單形sq的全體內點的集合稱為一個q維開單形,或稱為單形sq的內部,記為int sq。

同胚

同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X,T)到(Y,U)的單滿映射,並且f與f都是連續的,則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關係是等價關係。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet,M.-R.)於1910年開始研究的。在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré,(J.-)H.)引入。
設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚,如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。
為使從E到F上的雙射是同胚,其充分必要條件是: 這個雙射是雙連續的。
從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。

剖分

設I為R的區間。稱I的任一有限子集S為I的剖分。當S非空時,存在I的唯一的嚴格遞增的點列(c0,c1,…,cn),使S是由點c0,c1,…,cn構成的。經常將S與(c0,c1,…,cn)等同起來。
在I為緊區間[a,b],c0=a,而cn=b的情形下,稱數ci+1-ci中的最大者為S的步長,其中i取遍[0,n-1]。

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