基本介紹
- 中文名：單調收斂空間
- 外文名：monotone convergence space
- 領域：數學
- 性質：特殊的拓撲空間
- 對象：拓撲空間上的特殊化序
- 實例：入射空間
概念,拓撲空間,特殊化序,上確界,入射空間,斯科特拓撲,
概念
單調收斂空間(monotone convergence space)是一類特殊的拓撲空間。設X為T0拓撲空間，≤是X上的特殊化序。若(X，≤)的任意定向子集D有上確界，並且對於X的任意開集U，由sup D∈U可推出D∩U≠∅，則稱X為單調收斂空間。X是單調收斂空間，若且唯若(X，≤)中每一定向網都有上確界，並且收斂於此上確界，其中≤是X上的特殊化序。若L是完全格，則(L，σ(L))是單調收斂空間，其中σ(L)是L上的斯科特拓撲。入射空間是單調收斂空間。若f：X→Y是單調收斂空間X到拓撲空間Y的連續函式，則關於X與Y的特殊化序，f是保定向上確界的。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
特殊化序
特殊化序是拓撲空間上一類特殊的序。若(X，Ω(X))是T0拓撲空間，x，y∈X.定義x≤y，若且唯若x∈{y}，則≤是X上的一個自反、反對稱、傳遞的關係，稱≤為拓撲空間X上的特殊化序，或≤是由Ω(X)誘導的特殊化序。當X是T1空間時，X上的特殊化序是平凡序(即x≤y，若且唯若x=y)。若f：X→Y是連續函式，則f保特殊化序，即由x≤Xy可推出f(x)≤Yf(y)，其中≤X與≤Y分別是X與Y上的特殊化序。當L是定向完全偏序集時，L上的斯科特拓撲σ(L)誘導的特殊化序是L上的原有的序。定向完全偏序集L上的不同的拓撲可以誘導同一個特殊化序≤，並且≤是L上的原有的序。在這些拓撲中，最粗的拓撲是上拓撲ν(L)，最細的拓撲是亞歷山德羅夫拓撲γ(L)，其中γ(L)是由L的所有上集(即滿足條件A=↑A的集合A)組成的拓撲。若(X，Ω(X))是索伯空間，並且(X，≤)是定向完全偏序集，則由Ω(X)誘導的特殊化序是≤，若且唯若Ω(X)細於(X，≤)上的上拓撲，並且粗於(X，≤)上的斯科特拓撲。
上確界
上確界是序論的基本概念之一。設X是偏序集P的子集，如果X的上界的集合中有最小元，則稱此最小元為X的上確界，記為sup X(或∨X或l.u.b.X)；對偶地可以定義下確界，記為inf X(或∧X或g.l.b.X)。上、下確界是皮爾斯(Peirce，C.S.)首先研究的。
數集的最小上界。稱β是實數集合E的上確界，記為β=sup E或lub E，是指：
1.β是E的上界，即對任意x∈E，有x≤β.
2.若b是E的上界，則β≤b(即β是最小上界)；或比β小的數不是E的上界，即對任意ε>0，存在x0∈E，使x0>β-ε。
β是E的最大元，若且唯若β=sup E，且β∈E。當非空實數集E沒有上界時，常以sup E=+∞表示；當它有上界時，上確界必存在，即上確界是實數。
入射空間
入射空間是一類特殊的拓撲空間。設X是T0拓撲空間。若對於任意拓撲空間Z與任意連續映射f：Z→X，f可連續延拓到以Z為子空間的任意空間Y上，則稱X是入射空間。最簡單的入射空間是謝爾品斯基空間。設S={0，1}是兩點集，S上的拓撲
Ω(S)={∅，{1}，S}，
則(S，Ω(S))稱為謝爾品斯基空間。T0空間X是入射空間，若且唯若X是謝爾品斯基空間S的某個冪S的收縮核，即，存在連續函式f：S→S使得f=f且f的值域同胚於X。入射空間的收縮核是入射空間。入射空間的乘積是入射空間.入射空間與連續格有密切的聯繫。若L是連續格，則(L，σ(L))是入射空間，其中σ(L)是L上的斯科特拓撲。反之，若(X，Ω(X))是入射空間，≤是由Ω(X)誘導的特殊化序，則(X，≤)是連續格，並且Ω(X)等於X上的斯科特拓撲σ(X)。
斯科特拓撲
斯科特拓撲是完全格上的一類常用拓撲。設L是完全格，U是L的子集。若U滿足以下條件：
1.U=↑U，其中↑U={x∈L|u∈U，x≥u};
2.對於任意定向集D，若sup D∈U，且
D∩U≠∅;
則稱U為L的斯科特開集。L的所有斯科特開集的集族是L上的一個拓撲，稱為L上的斯科特拓撲，記為σ(L)。若U∈σ(L)，則稱L-U為斯科特閉集。A是斯科特閉集，若且唯若A=↓A，其中
↓A={x∈L|u∈A，x≤u}，
並且A對於定向上確界關閉，即，若D是定向集且DA，則sup D∈A.(L，σ(L))是一個T0拓撲空間。對於任意x∈L，{x}=↓x，其中↓x=↓{x}。當L是連續格時，{↟x|x∈L}是σ(L)的拓撲基，並且對於任意x∈L，XL，有
int↑x=↟x， int X=∪{↟u|↟uX}，
其中int表示內部運算。當L是連續格時，(L，σ(L))是局部緊的索伯空間。若L是完全格，則L是連續格，若且唯若σ(L)是完全分配格。利用斯科特拓撲σ(L)可以刻畫L的格論性質，這是研究連續格與連續格上的拓撲的一個重要動力。在完全格上引入拓撲的最早陳述是丹伊(Day，B.J.)和凱利(Kelly，G.M.)於1970年對於拓撲空間的開集格情況提出的。英國數學家斯科特(Scott，D.S.)於1972年的論文“連續格”中定義的拓撲最為有用。艾斯貝爾(Isbel，J.R.)於1975年稱這個拓撲為斯科特拓撲。在對斯科特拓撲的研究中，勞森(Lawson，J.D.)、霍夫曼(Hofmann，K.H.)、斯特拉克(Stralka，A.)等人做出了重要的貢獻。斯科特拓撲的定義可以自然地推廣到L是定向完全偏序集的情況，此時L上的斯科特拓撲仍記為σ(L)。
