單調收斂定理

單調收斂定理

設0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一單調非負隨機變數列。那么,若Xn(處處)收斂於隨機變數X,則相應的數學期望列EX1,EX2,…,EXn,…收斂於X的數學期望EX,這種現象稱為單調收斂定理。

基本介紹

  • 中文名:單調收斂定理
  • 外文名:Monotone convergence theorem
  • 類別:數學
  • 推廣:勒貝格單調收斂定理
  • 收斂:有限有界的
  • 套用:高等函式求極限
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單調實數序列的收斂性

定理

如果ak是一個單調的實數序列(例如akak+1),則這個序列具有極限(如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話)。這個極限是有限的,若且唯若序列是有界的。

證明

我們證明如果遞增序列{an}有上界,則它是收斂的,且它的極限為
由於{an}非空且有上界,因此根據實數的最小上界公理,c=
存在,且是有限的。現在,對於每一個
,都存在一個aN,使得aN>c-
,否則c-
是{an}的一個上界,這與c為最小上界
的事實矛盾。於是,由於{an}是遞增的,對於所有的n > N,都有
,因此根據定義,{an}的極限為
。證畢。
類似地,如果一個實數序列是遞減且有下界,則它的最大下界就是它的極限。

單調級數的收斂性定理

如果對於所有的自然數jkaj,k都是非負實數,且aj,kaj+1,k,則

勒貝格單調收斂定理

這個定理是前一個定理的推廣,也許就是最重要的單調收斂定理。

定理

設( X,,A,
)為一個測度空間。設f1,f2......為
-可測的[0,
]值單調遞增函式。也就是說:
。接著,設序列的逐點極限為f。也就是說:
,那么,f是
-可測的,且:

證明

我們首先證明f是
-可測函式。為此,只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為[0,
)的一個子區間。那么:
,另一方面,由於[0,t]是閉區間,因此:
等價於
,所以:
。注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素,這是因為它是一個波萊爾子集在
-可測函式
下的原像。由於根據定義,σ代數在可數交集下封閉,因此這便證明了f是
-可測的。需要注意的是,一般來說,任何可測函式的最小上界也是可測的。
現在我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是
-可測的事實,意味著表達式
是定義良好的。
我們從證明
開始。
根據勒貝格積分的定義,其中SF是X上的-可測簡單函式的交集。由於在每一個,都有,我們便有:
包含於
,因此,由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界,我們便有:
,右面的極限存在,因為序列是單調的。
我們現在證明另一個方向的不等式(也可從法圖引理推出),也就是說,我們來證明:
從積分的定義可以推出,存在一個非負簡單函式的非遞增序列gn,它幾乎處處逐點收斂於f,且:
只需證明對於每一個
,都有:
,這是因為如果這對每一個k都成立,那么等式左端的極限也將小於或等於等式右端。
我們證明如果gk是簡單函式,且
幾乎處處,則:
由於積分是線性的,我們可以把函式
分拆成它的常數部分,化為
是σ代數A的一個元素B的指示函式的情況。在這種情況下,我們假設
是一個可測函式的序列,它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。為了證明這個結果,固定
,並定義可測集合的序列:
根據積分的單調性,可以推出對於任何的
,都有
根據
的假設,對於足夠大的n,任何B內的x都將位於
內,因此:
,所以,我們有:
利用測度的單調性,可得
,取
,並利用這對任何正數都正確的事實,定理便得證。

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