黎曼級數定理

對於無窮級數∑an，其部分和為Sn=∑ak：。如果部分和的數列〔S1，S2,S3,...〕

基本介紹

• 中文名：黎曼級數定理
• 外文名：Riemann series theorem
• 別稱：黎曼重排定理
• 提出者：波恩哈德·黎曼
• 套用學科：數學

定理定義

對於無窮級數∑an，其部分和為Sn=∑ak：。如果部分和的數列〔S1，S2,S3,...〕

收斂於某個數 L，則級數收斂。也就是說，對於任何的ε > 0，總存在一個整數N，使得如果n≥N，則∣Sn-L∣≤ε

.如果級數∑an收斂，但級數∑∣an∣發散，則稱此級數是條件收斂的。

假設∑an是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數M，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列σ(n)，使得∑an=m

此外，也存在一種排列σ(n)，使得∑an=∞

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於-∞，或沒有任何極限。

驗證推導

對一般的條件收斂級數，也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出（低於）目標值{\displaystyle C}以後，只要不停地累加，必然能夠再次低於（超出）目標值{\displaystyle C}；其次，調和級數是由{\displaystyle {\frac {1}{n}}}相加而成，而隨著{\displaystyle n}趨向無窮，{\displaystyle {\frac {1}{n}}}趨向於0，也就是說“步長”趨向0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：

1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的；
2. 級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。