單調有界定理

單調有界定理：若數列{a_n}遞增有上界（遞減有下界），則數列{a_n}收斂，即單調有界數列必有極限。具體來說，如果一個數列單調遞增且有上界，或單調遞減且有下界，則該數列收斂。

基本介紹

• 中文名：單調有界定理
• 外文名：monotone convergence theorem
• 數列{an}：遞增（遞減）
• 有：上界（下界）
• 則：數列{an}收斂

相關概念

單調性

對任一數列{x_n}，如果從某一項x_k開始，滿足

則稱數列（從第k項開始）是單調遞增的。特別地，如果上式全部取小於號，則稱數列是嚴格單調遞增的。

同樣地，如果從某一項k開始，滿足

則稱數列（從第k項開始）是單調遞減的。特別地，如果上式全部取大於號，則稱數列是嚴格單調遞減的。

單調遞增數列和單調遞減數列統稱單調數列。

有界性

對任一數列{x_n}，如果存在某個實數A使不等式

恆成立，則稱實數A是數列的一個下界；同樣地，如果存在某個實數B使不等式

恆成立，則稱實數B是數列的一個上界。

如果一個數列既有上界又有下界，則稱這個數列是有界的。此時，存在一個正數M，使不等式

成立。

根據數列有界的定義可知，如果一個數列有界，那么它一定有上界和下界。反過來，如果一個數列只有上界或只有下界，則不能得出數列有界的結論。

定理

單調有界數列必有極限。

這個性質是實數連續性的一個體現，可以用實數連續性公理對其進行證明。

證明

設數列{x_n}單調遞增且有上界，接下來用戴德金定理證明{x_n}必有極限。

分類討論，如果{x_n}從第N項開始所有的項都相等（即數列有無窮多個相等的項），那么由於數列是單調遞增的，當n>N時，有x_n=x_N，因此對 。即{x_n}收斂到x_N。

如果{x_n}中只有有限項相等，即數列從某項開始嚴格單調遞增，那么因為{x_n}有上界，可取所有{x_n}的上界組成一個數集B，並取A=R/B。則：

①由取法可知數集B非空，而{x_n}為嚴格單調遞增數列，故 。∴ 。

② 。

③∵A中任何元素都不是{x_n}的上界，∴ 。

又∵B中任何元素都是{x_n}的上界，∴ 。

故必有 。

∴由戴德金定理可知，存在唯一實數η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

但無論是哪種情況， 。

④由數集A的意義可知， 。而數列單調遞增，故當 時， 。

⑤由數集B的意義可知，當 時， 。

綜合④⑤可知，當 時，

∴ ，即{x_n}有極限。

同理可證：若數列{x_n}單調遞減且有下界，則{x_n}必有極限。

套用

在一般的教科書中，單調有界定理是通過確界原理來證明的，即通過確界原理知道{x_n}有上（下）確界α，再證明{x_n}收斂於α。事實上，單調有界定理與確界原理等價，既可以由確界原理得到單調有界定理，也可以由單調有界定理得到確界原理。以下是其證法。

問題：試通過單調有界定理證明確界原理。

解：不妨設數集S非空有上界，將所有不小於S中的任一元素的有理數排成一個數列{r_n}，並令{x_n}=min{r₁,r₂,r₃...r_n}。為更直觀理解{x_n}，舉例如下：

設S=[1,2]。第一次，取r₁=3，則x₁=min{3}=3。第二次，取r₂=5，則x₂=min{3,5}=3。第三次，取r₃=2.5，則x₃=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r₄=2.2，則x₄=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此類推。顯然{x_n}單調遞減並且有下界（S中任何元素都是{x_n}的下界），因此{x_n}收斂。設極限為η，並且由上述構造可知，η≤x_n≤r_n。

利用反證法，

①若η不是S的上界，即存在p∈S，使p>η。取 ，根據極限的幾何意義，存在正整數N，使不等式η<x_N<η+ε成立。而 ，從而x_N<p。這與x_N不小於S中的任一元素矛盾。

②任取a>0，若對任意k∈S，都有k≤η-a，根據有理數的稠密性（即任何兩個不相等的實數之間必定存在有理數），存在有理數r，使不等式k≤η-a<r<η成立。因為我們把所有不小於S中的任一元素的有理數排成了一個數列{r_n}，r∈{r_n}。這樣一來，就得到η≤r，矛盾。

所以，η是S的上確界。

補充：有理數的稠密性

有理數在實數中是稠密的，即任何兩個不相等的實數之間總存在有理數。（實際上任何兩個不相等的實數之間不僅存在有理數，而且還存在無理數。在這裡暫時不對無理數作討論。）

用數學語言描述為：

若 且 ，則存在 ，滿足 。

證明：因 ，由實數的阿基米德公理，存在正整數 ，使 ，或 。令 ，它是一個有理數。再任取有理數 ，則 。由阿基米德公理，存在自然數 ，使 ，即 。顯然 是有理數，並且對所有大於 的自然數 ，都有 。取使不等式 成立的最小的自然數 （最小指的是 ），則 為所求有理數。

如果不是這樣，即假設，那么。將該不等式的兩邊與的兩邊相加，得

去括弧，整理即得

這與上面矛盾。

這樣就證明了存在有理數，使。

注意事項

（1）單調有界定理只能用於證明數列極限的存在性，如何求極限需用其他方法；

（2）數列從某一項開始單調有界的話，結論依然成立，這是因為增加或去掉數列有限項不改變數列的極限。