閉域套定理

區間套定理與單調有界定理、數列的緻密性定理和柯西收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理共同構成實數集完備性的基本定理，並且這六個定理是相互等價的，對於研究實數集的完備性具有重要的意義。

基本介紹

• 中文名：區間套定理
• 外文名：theorem of nested interval
• 別稱：閉區間套定理
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：實數的完備性
• 屬性：實數集完備性的基本定理

定義

設閉區間列 具有如下性質：

（i）

（ii）

則稱 為閉區間套，或簡稱區間套。

這裡性質（i）表明，構成區間套的閉區間列是前一個套著後一個，即各閉區間的端點滿足如下不等式：

定理（閉區間套定理）

若 是一個區間套，則在實數系中存在惟一的一點 ，使得 ，即

證 由（1）式， 為遞增有界數列，依單調有界定理， 有極限 ，且有

同理，遞減有界數列 也有極限，並按區間套的條件（ii）有

且

聯合（3）、（5）即得（2）式。

最後證明滿足（2）的 是惟一的，設數 也滿足

即由（2）式有

由區間套的條件（ii）得

故有 。

性質

由（4）式容易推得如下很有用的區間套性質。

推論

若 是區間套 所確定的點，則對任給的 ，存在 ，使得當 時有

注

區間套定理中要求各個區間都是閉區間，才能保證定理的結論是成立的。對於開區間列，如 ，雖然其中各個開區間也是前一個包含後一個，且 ，但不存在屬於所有開區間的公共點。

套用領域

例 用區間套定理證明連續函式根的存在性定理。

證 設 在區間 上連續， ，並且記 。令 ，如果 ，結論已經成立。若 ，那么 與 有一個小於零，不妨設 ，記 。再令 ，如果 ，結論已經成立。故同樣可設 。那么 在 與 這兩個區間中的某一個區間上端點值異號，並記這個區間為 。將這個過程無限重複下去，就得到一列閉區間 ，滿足

（1）

（2）

（3）

由（1）和（2）可知 是一個區間套，由區間套定理，存在 ，且有 。因為 在點 連續，所以由（3）得

則必有 。顯然 ，它就是 的一個零點。