閉域套定理

區間套定理與單調有界定理、數列的緻密性定理柯西收斂準則聚點定理有限覆蓋定理共同構成實數集完備性的基本定理,並且這六個定理是相互等價的,對於研究實數集的完備性具有重要的意義。

基本介紹

  • 中文名:區間套定理
  • 外文名:theorem of nested interval
  • 別稱:閉區間套定理
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:實數的完備性
  • 屬性:實數集完備性的基本定理
定義,定理(閉區間套定理),性質,推論,注,套用領域,

定義

設閉區間列
具有如下性質:
(i)
(ii)
則稱
閉區間套,或簡稱區間套
這裡性質(i)表明,構成區間套的閉區間列是前一個套著後一個,即各閉區間的端點滿足如下不等式:

定理(閉區間套定理)

是一個區間套,則在實數系中存在惟一的一點
,使得
,即
由(1)式,
為遞增有界數列,依單調有界定理,
有極限
,且有
同理,遞減有界數列
也有極限,並按區間套的條件(ii)有
聯合(3)、(5)即得(2)式。
最後證明滿足(2)的
是惟一的,設數
也滿足
即由(2)式有
由區間套的條件(ii)得
故有

性質

由(4)式容易推得如下很有用的區間套性質。

推論

是區間套
所確定的點,則對任給的
,存在
,使得當
時有

區間套定理中要求各個區間都是閉區間,才能保證定理的結論是成立的。對於開區間列,如
,雖然其中各個開區間也是前一個包含後一個,且
,但不存在屬於所有開區間的公共點。

套用領域

用區間套定理證明連續函式根的存在性定理。
在區間
上連續,
,並且記
。令
,如果
,結論已經成立。若
,那么
有一個小於零,不妨設
,記
。再令
,如果
,結論已經成立。故同樣可設
。那么
這兩個區間中的某一個區間上端點值異號,並記這個區間為
。將這個過程無限重複下去,就得到一列閉區間
,滿足
(1)
(2)
(3)
由(1)和(2)可知
是一個區間套,由區間套定理,存在
,且有
。因為
在點
連續,所以由(3)得
則必有
。顯然
,它就是
的一個零點。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們