《考研數學分析總複習:精選名校真題(第4版)》是數學類專業考研複習指導書，通過精選的名校真題，講解典型問題的方法和技巧。《考研數學分析總複習:精選名校真題(第4版)》共分八講，包括極限、一元函式的連續性、一元函式的微分學、一元函式的積分學、級數、多元函式的微分學、多元函式的積分學、不等式。本次修訂增補了從北大、南開、科學院、華東師範、大連理工、華南理工等院校最近兩年真題中精選出來的六十多道題目，並刪去或新增了一批例題後的類題。《考研數學分析總複習:精選名校真題(第4版)》適合作為自學材料，也可作為相關課程的培訓教材。
基本介紹
- 書名：精選名校真題
- 出版社：機械工業出版社
- 頁數：302頁
- 開本：16
- 品牌：機械工業出版社
- 作者：陳守信
- 出版日期：2014年5月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：9787111462330
基本介紹,內容簡介,作者簡介,圖書目錄,序言,編輯推薦,目錄,
基本介紹
內容簡介
《考研數學分析總複習:精選名校真題(第4版)》的亮點在於其針對性：重點敘述數學分析課程中的難點和學生做起題目感到難受的知識點，如微分中值部分輔助函式的構造，還有利用後面幾個章節的知識綜合求極限等等，這樣對考研備戰就很有針對性。題型非常全面！適合複習！但是題量稍大，要有耐心啊。很多題目是歷年名校數分的壓軸題，收穫很多。身邊很多人在用就買了，內容確實不錯。印刷紙張上乘。
作者簡介
陳守信博士，河南大學數學與計算科學學院教授。畢業於復旦大學數學系。在套用偏微分方程方向的研究有影響。曾應邀在第六屆世界華人數學家大會做45分鐘報告。
圖書目錄
前言
第一講極限1
一、用極限的定義驗證極限1
二、用單調有界定理證明極限的存在性4
三、用迫斂性定理求極限9
四、用柯西收斂準則證明極限的存在性13
五、用施圖茲定理求極限14
六、用泰勒展開求極限17
七、用中值定理求極限20
八、兩個重要極限·洛必達法則21
九、用定積分的定義求極限27
十、其他29
第二講一元函式的連續性40
一、函式的連續性及其套用40
二、一致連續性52
第三講一元函式的微分學63
一、導數與微分63
二、高階導數70
三、微分中值定理及其套用75
四、泰勒公式90
五、函式零點個數的討論103
第四講一元函式的積分學106
一、不定積分的計算106
二、定積分的計算116
三、函式的可積性理論123
四、定積分的性質及其套用129
五、廣義積分140
第五講級數156
一、數項級數156
二、函式項級數173
三、冪級數194
四、傅立葉級數210
第六講多元函式的微分學223
一、多元函式的極限與連續223
二、多元函式的偏導數與全微分233
三、隱函式（組）存在定理及隱函式求偏導247
四、偏導數的套用254
第七講多元函式的積分學278
一、含參變數積分278
二、重積分302
三、曲線積分326
四、曲面積分340
第八講不等式358
一、幾個著名的不等式358
二、利用凸函式的性質證明不等式365
三、利用函式的單調性與極值證明不等式371
四、積分不等式379
參考文獻393
第一講極限1
一、用極限的定義驗證極限1
二、用單調有界定理證明極限的存在性4
三、用迫斂性定理求極限9
四、用柯西收斂準則證明極限的存在性13
五、用施圖茲定理求極限14
六、用泰勒展開求極限17
七、用中值定理求極限20
八、兩個重要極限·洛必達法則21
九、用定積分的定義求極限27
十、其他29
第二講一元函式的連續性40
一、函式的連續性及其套用40
二、一致連續性52
第三講一元函式的微分學63
一、導數與微分63
二、高階導數70
三、微分中值定理及其套用75
四、泰勒公式90
五、函式零點個數的討論103
第四講一元函式的積分學106
一、不定積分的計算106
二、定積分的計算116
三、函式的可積性理論123
四、定積分的性質及其套用129
五、廣義積分140
第五講級數156
一、數項級數156
二、函式項級數173
三、冪級數194
四、傅立葉級數210
第六講多元函式的微分學223
一、多元函式的極限與連續223
二、多元函式的偏導數與全微分233
三、隱函式（組）存在定理及隱函式求偏導247
四、偏導數的套用254
第七講多元函式的積分學278
一、含參變數積分278
二、重積分302
三、曲線積分326
四、曲面積分340
第八講不等式358
一、幾個著名的不等式358
二、利用凸函式的性質證明不等式365
三、利用函式的單調性與極值證明不等式371
四、積分不等式379
參考文獻393
序言
“數學分析”是數學系最重要的基礎課之一，也是數學系各專業考研的必考科目。由於它的內容多、技巧強、方法靈活使得很多考生在備考過程中遇到諸多疑難和困惑，甚至產生了畏難、厭學情緒。針對這種情況，我想以一個朋友的身份和大家聊聊，也許對你會有幫助。二十多年前，我作為一名考生，也遇到了大家今天所遇到的問題（有過之而無不及！），也曾有過放棄的念頭，但在老師和同學們的鼓勵下，我咬咬牙挺過來了！因此，我首先想和大家說的是：要相信自己，不要輕言放棄，頂一頂過了這一關，前面也許就一馬平川了！
我從事數學分析的教學工作已有二十餘年，積累了一些教學經驗和教學心得，能夠體會到同學們在學習數學分析中的酸甜苦辣！因此，有了想寫一本幫助同學們備考用書的衝動。
在寫書之初，我曾多次和考生座談並發放問卷，傾聽他們的想法，了解他們的困惑。許多同學真誠地提出了自己的問題，這讓我非常感動！於是，我暗下決心：要盡我最大能力寫好這本書，以求能給大家點滴幫助。同學們的問題歸納起來有如下幾個方面：1.數學分析概念多、定理多，各章節的內容串聯不起來。比如，求極限有許多方法和技巧，拿到題目不知道如何下手。2.微分中值定理證明題中輔助函式的構造。3.定積分的可積性理論、求不出原函式的定積分的計算等問題。4.廣義積分尤其是含參變數廣義積分，證明其收斂性或一致收斂性是難點。5.對於函式項級數，當要討論和函式的分析性質（連續性、可積性和可導性），而定理的條件又不滿足時，常常感到束手無策。6.第二型曲面積分計算時的補面、以及區域內部有奇性等如何處理。當然，同學們還提出了許多其他問題，比如：一元函式的一致連續和非一致連續性的證明；二重極限的計算；常考的不等式題型及其證明等等。從同學們所提的問題看，的確切中了數學分析的重點和難點，當然也是目前各類院校考研的重點。
同學們的問題就是我寫這本書的指導思想，因此我在編寫本書的過程中始終本著如下原則：不受知識體系的約束，堅持體系由解題方法所決定；不去羅列教材中的基本內容，僅對一些重要的、容易混淆的概念和定理進行深入、透徹的講解。並恰如其分地闡述它們之間的區別與聯繫，以及使用時應該注意的事項；不追求大而全、艱而難，注重解題思路的分析和解題技巧的提煉。
在整個寫作的過程中，同學們的問題始終在我腦海縈繞。我常常問自己：我回答了學生的問題嗎？能給學生幫助嗎？唯恐自己的閃失或能力所限辜負了同學們的期望！下面我想通過幾個例子來說明，我是如何針對同學們的問題來安排書中內容的。
求極限的方法與技巧
在第一講中我歸納總結了十餘種求極限的方法，並通過典型例子闡明了它們的套用。在此，我通過一個例子來說明如何去思考問題？
設數列{xn}由遞推關係xn+1=f(xn)所給出，求limn→∞xn。
拿到這個題目，大家會首先想單調有界定理。如果單調有界定理失效，可能有的同學就“望題興嘆”了！可是大家不要忘記：數列收斂的本質是：充分靠後的任意兩項之間的距離可以任意小。這樣我們就可以嘗試使用壓縮性條件或柯西收斂原理；如果還不行，可以考慮使用上、下極限法。
另外，如果數列{xn}由線性遞推關係xn+1=pxn+qxn－1,n=2,3,…所給出，其中p,q為常數，x1,x2為已知。對這種由線性遞推關係所定義的數列，我們可以將其視為差分方程，通過求其特徵方程的根（即特徵根），寫出xn的通項公式，從而可求出xn的極限。
*與微分中值定理或泰勒公式有關的證明題中輔助函式的構造
在第三講中，我通過對一些典型例題（這其中也包括與積分有關的題目）的分析、講評，向大家介紹了：如何從題目的結論出發構造輔助函式。由於構造輔助函式有一定的靈活性，通過區區幾個例題大家可能仍然無法掌握其中的技巧和奧秘！為了克服這一困難，我又介紹了在多年教學實踐中總結出來的“輔助多項式法”。這種方法把充滿技巧的輔助函式構造變成了機械地例行公事了。
*定積分的計算
談起定積分的計算問題，許多同學可能對此不以為然，會簡單的認為：只要求出原函式問題就解決了！但是對那些原函式求不出來或不易求出來的怎么辦？通常的想法是，作自變數的變換，這種變換充滿了智慧和技巧。在第四講中，我給出了簡單易行的“定積分計算技巧”，解決了一大類定積分計算問題。
如此等等，不再一一贅述。
關於本書我想再囉嗦幾句。書中的例題和類題大都來源於考研真題和近年來的全國大學生數學競賽試題。有些題目從年份上看，是早了一些，但是好的題目就像美妙的音樂，永遠是不會過時的！在題目的取捨上既要照顧到介紹思想、方法和技巧的需要，又要保證有一定的難度；在講解上由淺入深，娓娓道來，儘量做到“平易近人”。多數例題的後面都配有類題，並給出了詳略不同的提示，這有利於同學們掌握和鞏固例題中所學的方法和技巧。許多理論上的講解和題後的註記，都體現了筆者二十多年的教學經驗和教學心得，凝聚了筆者的心血！同學們在閱讀過程中要認真琢磨，細細品味，切不可蜻蜓點水一帶而過。
如何進行考研總複習呢？許多同學向我提出這個問題。我認為，首先把課本上的基本內容搞熟、搞透、掌握了，然後根據自己的情況選擇一本合適複習的參考書，對所學的知識進行全面、系統地串聯、歸納、總結、鞏固和提高。最後找幾套你所報考院校近幾年的考題試做一下，把握一下出題的深淺、側重點以及出題人的偏好，以期做到對症下藥，有的放矢。
如果本書能為你考研助一臂之力，那將是我最欣慰的事情。天道酬勤，我堅信有耕耘就會有收穫。同學們，努力吧！成功屬於你們！
你的朋友：陳守信
我從事數學分析的教學工作已有二十餘年，積累了一些教學經驗和教學心得，能夠體會到同學們在學習數學分析中的酸甜苦辣！因此，有了想寫一本幫助同學們備考用書的衝動。
在寫書之初，我曾多次和考生座談並發放問卷，傾聽他們的想法，了解他們的困惑。許多同學真誠地提出了自己的問題，這讓我非常感動！於是，我暗下決心：要盡我最大能力寫好這本書，以求能給大家點滴幫助。同學們的問題歸納起來有如下幾個方面：1.數學分析概念多、定理多，各章節的內容串聯不起來。比如，求極限有許多方法和技巧，拿到題目不知道如何下手。2.微分中值定理證明題中輔助函式的構造。3.定積分的可積性理論、求不出原函式的定積分的計算等問題。4.廣義積分尤其是含參變數廣義積分，證明其收斂性或一致收斂性是難點。5.對於函式項級數，當要討論和函式的分析性質（連續性、可積性和可導性），而定理的條件又不滿足時，常常感到束手無策。6.第二型曲面積分計算時的補面、以及區域內部有奇性等如何處理。當然，同學們還提出了許多其他問題，比如：一元函式的一致連續和非一致連續性的證明；二重極限的計算；常考的不等式題型及其證明等等。從同學們所提的問題看，的確切中了數學分析的重點和難點，當然也是目前各類院校考研的重點。
同學們的問題就是我寫這本書的指導思想，因此我在編寫本書的過程中始終本著如下原則：不受知識體系的約束，堅持體系由解題方法所決定；不去羅列教材中的基本內容，僅對一些重要的、容易混淆的概念和定理進行深入、透徹的講解。並恰如其分地闡述它們之間的區別與聯繫，以及使用時應該注意的事項；不追求大而全、艱而難，注重解題思路的分析和解題技巧的提煉。
在整個寫作的過程中，同學們的問題始終在我腦海縈繞。我常常問自己：我回答了學生的問題嗎？能給學生幫助嗎？唯恐自己的閃失或能力所限辜負了同學們的期望！下面我想通過幾個例子來說明，我是如何針對同學們的問題來安排書中內容的。
求極限的方法與技巧
在第一講中我歸納總結了十餘種求極限的方法，並通過典型例子闡明了它們的套用。在此，我通過一個例子來說明如何去思考問題？
設數列{xn}由遞推關係xn+1=f(xn)所給出，求limn→∞xn。
拿到這個題目，大家會首先想單調有界定理。如果單調有界定理失效，可能有的同學就“望題興嘆”了！可是大家不要忘記：數列收斂的本質是：充分靠後的任意兩項之間的距離可以任意小。這樣我們就可以嘗試使用壓縮性條件或柯西收斂原理；如果還不行，可以考慮使用上、下極限法。
另外，如果數列{xn}由線性遞推關係xn+1=pxn+qxn－1,n=2,3,…所給出，其中p,q為常數，x1,x2為已知。對這種由線性遞推關係所定義的數列，我們可以將其視為差分方程，通過求其特徵方程的根（即特徵根），寫出xn的通項公式，從而可求出xn的極限。
*與微分中值定理或泰勒公式有關的證明題中輔助函式的構造
在第三講中，我通過對一些典型例題（這其中也包括與積分有關的題目）的分析、講評，向大家介紹了：如何從題目的結論出發構造輔助函式。由於構造輔助函式有一定的靈活性，通過區區幾個例題大家可能仍然無法掌握其中的技巧和奧秘！為了克服這一困難，我又介紹了在多年教學實踐中總結出來的“輔助多項式法”。這種方法把充滿技巧的輔助函式構造變成了機械地例行公事了。
*定積分的計算
談起定積分的計算問題，許多同學可能對此不以為然，會簡單的認為：只要求出原函式問題就解決了！但是對那些原函式求不出來或不易求出來的怎么辦？通常的想法是，作自變數的變換，這種變換充滿了智慧和技巧。在第四講中，我給出了簡單易行的“定積分計算技巧”，解決了一大類定積分計算問題。
如此等等，不再一一贅述。
關於本書我想再囉嗦幾句。書中的例題和類題大都來源於考研真題和近年來的全國大學生數學競賽試題。有些題目從年份上看，是早了一些，但是好的題目就像美妙的音樂，永遠是不會過時的！在題目的取捨上既要照顧到介紹思想、方法和技巧的需要，又要保證有一定的難度；在講解上由淺入深，娓娓道來，儘量做到“平易近人”。多數例題的後面都配有類題，並給出了詳略不同的提示，這有利於同學們掌握和鞏固例題中所學的方法和技巧。許多理論上的講解和題後的註記，都體現了筆者二十多年的教學經驗和教學心得，凝聚了筆者的心血！同學們在閱讀過程中要認真琢磨，細細品味，切不可蜻蜓點水一帶而過。
如何進行考研總複習呢？許多同學向我提出這個問題。我認為，首先把課本上的基本內容搞熟、搞透、掌握了，然後根據自己的情況選擇一本合適複習的參考書，對所學的知識進行全面、系統地串聯、歸納、總結、鞏固和提高。最後找幾套你所報考院校近幾年的考題試做一下，把握一下出題的深淺、側重點以及出題人的偏好，以期做到對症下藥，有的放矢。
如果本書能為你考研助一臂之力，那將是我最欣慰的事情。天道酬勤，我堅信有耕耘就會有收穫。同學們，努力吧！成功屬於你們！
你的朋友：陳守信
編輯推薦
《考研數學分析總複習:精選名校真題》是數學類專業考研複習指導書。《考研數學分析總複習:精選名校真題》適合作為自學材料，也可作為相關課程的培訓教材。
目錄
前言
第一講 極限
一、用極限的定義驗證極限
二、用單調有界定理證明極限的存在性
三、用迫斂性定理求極限
四、用柯西收斂準則證明極限的存在性
五、用施圖茲定理求極限
六、用泰勒展開求極限
七、用中值定理求極限
八、兩個重要極限·洛必達法則
九、用定積分的定義求極限
十、其他
第二講 一元函式的連續性
一、函式的連續性及其套用
二、一致連續性
第三講 一元函式的微分學
一、導數與微分
二、高階導數
三、微分中值定理及其套用
四、泰勒公式
五、函式零點個數的討論
第四講 一元函式的積分學
一、不定積分的計算
二、定積分的計算
三、函式的可積性理論
四、定積分的性質及其套用
五、廣義積分
第五講 級數
一、數項級數
二、函式項級數
三、冪級數
四、傅立葉級數
第六講 多元函式的微分學
一、多元函式的極限與連續
二、多元函式的偏導數與全微分
三、隱函式（組）存在定理及隱函式求偏導
四、偏導數的套用
第七講 多元函式的積分學
一、含參變數積分
二、重積分
三、曲線積分
四、曲面積分
第八講 不等式
一、幾個著名的不等式
二、利用凸函式的性質證明不等式
三、利用函式的單調性與極值證明不等式
四、積分不等式
參考文獻
第一講 極限
一、用極限的定義驗證極限
二、用單調有界定理證明極限的存在性
三、用迫斂性定理求極限
四、用柯西收斂準則證明極限的存在性
五、用施圖茲定理求極限
六、用泰勒展開求極限
七、用中值定理求極限
八、兩個重要極限·洛必達法則
九、用定積分的定義求極限
十、其他
第二講 一元函式的連續性
一、函式的連續性及其套用
二、一致連續性
第三講 一元函式的微分學
一、導數與微分
二、高階導數
三、微分中值定理及其套用
四、泰勒公式
五、函式零點個數的討論
第四講 一元函式的積分學
一、不定積分的計算
二、定積分的計算
三、函式的可積性理論
四、定積分的性質及其套用
五、廣義積分
第五講 級數
一、數項級數
二、函式項級數
三、冪級數
四、傅立葉級數
第六講 多元函式的微分學
一、多元函式的極限與連續
二、多元函式的偏導數與全微分
三、隱函式（組）存在定理及隱函式求偏導
四、偏導數的套用
第七講 多元函式的積分學
一、含參變數積分
二、重積分
三、曲線積分
四、曲面積分
第八講 不等式
一、幾個著名的不等式
二、利用凸函式的性質證明不等式
三、利用函式的單調性與極值證明不等式
四、積分不等式
參考文獻
