法圖引理

在測度論中，法圖引理說明了一個函式列的下極限的積分（在勒貝格意義上）和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾·法圖（Pierre Fatou），被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理和勒貝格控制收斂定理。

基本介紹

• 中文名：法圖引理
• 外文名：Fatou's lemma
• 提出者：皮埃爾·法圖
• 套用學科：數學

定理定義

設 為一個測度空間， 是一個實值的可測正值函式列。那么：

其中函式極限是在逐點收斂的意義上的極限，函式取值和積分可以是無窮大。

驗證推導

定理證明基於單調收斂定理。設 為函式列的下極限。對每一個正整數 k ，要逐點定義下極限函式：

所以是函式列g1, g2, . . .單調遞增並趨於 。

任意k ≤ n，有gk ≤ fn，因此

據此，由單調收斂定理以及下極限定義，就有：

反向法圖引理

令 為測度空間 中的一列的可測函式，函式的值域為擴展的實數軸（包括無窮大）。如果存在一個在S上可積的正值函式g ，使得對所有的n都有 ，那么。

這裡g只需弱可積、即 。

證明：對函式列 套用法圖引理即可以。

定理推廣

任意實值函式

法圖引理不僅對取正值函式列成立，在一定的限制條件下，可以擴展到任意實值函式。令 為測度空間 中的一列可測函式，函式的值域為擴展的實數軸（包括無窮大）。如果存在一個在 S 上可積的正值函式 g ，使得對所有的 n 都有 ，那么

證明：對函式列套用法圖引理即可。

逐點收斂

在以上的條件下，如果函式列在S上μ-幾乎處處逐點收斂到一個函式，那么。

證明：是函式列的極限，因此自然是下極限。此外，零測集上的差異對於積分值沒有影響。

依測度收斂

如果函式列在S上依測度收斂到，那么上面的命題仍然成立。

證明：存在的一個子列使得。

這個子列仍然依測度收斂到，於是又存在這個子列的一個子列在S 上μ-幾乎處處逐點收斂到，於是命題成立。