勒貝格控制收斂定理

在數學分析和測度論中，勒貝格控制收斂定理提供了積分運算和極限運算可以交換運算順序的一個充分條件。在分析逐點收斂的函式數列的勒貝格積分時，積分號和逐點收斂的極限號並不總是可以交換的。

基本介紹

• 中文名：勒貝格控制收斂定理
• 外文名：Dominated convergence theorem
• 提出者：勒貝格
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：函式

簡介

勒貝格控制收斂定理說明了，如果逐點收斂的函式列的每一項都能被同一個勒貝格可積的函式“控制”（即對變數的任何取值，函式的絕對值都小於另一個函式），那么函式列的極限函式的勒貝格積分等於函式列中每個函式的勒貝格積分的極限。勒貝格控制收斂定理顯示出勒貝格積分相比於黎曼積分的優越性，在數學分析和實變函式論中有很大的套用。

內容

設 為一個測度空間， 是一個實值的可測函式列。如果 逐點收斂於一個函式 ，並存在一個勒貝格可積的函式 ，使得對每個 ，任意 ，都有 ，則：

1） 也是勒貝格可積的， ；

2） 。

其中的函式 一般取為正值函式。函式列 的逐點收斂和 的性質可以減弱為 幾乎處處成立。

證明

勒貝格控制收斂定理是更廣泛的法圖-勒貝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一個引用法圖引理的證明。

由於 是 逐點收斂的極限，因此對其仍然有

（於是 ）。

同理，對任意的 有：

根據法圖引理，

因此，由勒貝格積分的線性性和單調性，就有

而後者趨於0，於是定理得證。

控制函式的必要性

控制收斂定理能夠成立的一個重要因素是存在一個可積的函式，使得函式列收斂的過程能夠“安全”進行。如果缺少這個條件，調換運算次序就可能會導致各種後果。下面是一個例子：

定義函式 為：對於 中的 ， 。對於 中的 ， 。對(0,1] 中的任意 ，當n趨於無窮大時， 總趨於零，同時f_n在 上的積分總是1。結果是：

控制收斂定理不成立。原因是不存在可積的控制函式：定義為：對 中每一點， 。那么在 上。於是如果存在控制函式，那么，但是當 時，

也就是說 不可積。

由此可見，可積的控制函式是定理成立的必要條件。