丹尼爾表示定理體現丹尼爾積分與通常抽象積分之間關係的重要定理。
基本介紹
- 中文名：丹尼爾表示定理
- 外文名：Daniell representation theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,丹尼爾積分,抽象積分,
簡介
丹尼爾表示定理是體現丹尼爾積分與通常抽象積分之間關係的重要定理。
設𝒦是集Ω上的一族實值函式組成的線性空間，假定𝒦上含有常值函式且關於格運算是封閉的，I為𝒦上的丹尼爾積分，且I(1)=1，則在σ(𝒦)上存在惟一的機率測度μ，使得每個f∈𝒦是μ可積的，且
丹尼爾積分
丹尼爾積分是連續函式空間上的正線性泛函，它由丹尼爾於1919年引入，其意義在於給出一種定義和處理勒貝格積分的方法。
設𝒦為集Ω上一族實值函式組成的向量格，即f∈𝒦蘊涵|f|∈𝒦，f∧1∈𝒦；I為𝒦上的正線性泛函，即f,g∈𝒦,α,β∈R蘊涵
又對f∈𝒦,f≥0蘊涵I(f)≥0。如果I滿足條件：fn∈𝒦，fn↓0蘊涵
或等價地，若由fn∈𝒦，fn↑f∈𝒦必可推出
則稱I為𝒦上的丹尼爾積分。
抽象積分
(abstract integral)
抽象積分是勒貝格積分的進一步抽象，是現代分析數學中的重要工具之一。
設(Ω,F,μ)是測度空間，f(x)是(Ω,F)中的可測函式，建立抽象積分∫Ωf(x)dμ的步驟與建立勒貝格積分或勒貝格-斯蒂爾傑斯積分的步驟基本相同，只需在定義中將勒貝格測度換成一般測度μ，相應的非負簡單函式、非負可測函式、一般可測函式換成測度空間中的同名函式即可。
