逐點收斂

在數學中，逐點收斂（或稱簡單收斂）描述的是一列函式向一個特定函式趨近的現象中的一種。簡單來說，就是對定義域裡的每一點，這個函式列在這點上的取值都趨於一個極限值。這時，被趨近的這個特定函式稱作函式列的逐點極限。在各種收斂中，逐點收斂最為直觀，容易想像，但不能很好地保持函式的一些重要性質，比如說連續性等等。

基本介紹

• 中文名：逐點收斂
• 外文名：Point-by-point convergence
• 分類：數理科學

定義

設 是一列擁有同樣定義域的函式。 逐點收斂若且唯若存在函式 ，使得對定義域中的每個 ，都有：

這時我們就說 逐點收斂到 。

性質

與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂。後者的定義如下：

一致收斂到 若且唯若在定義域 中

相比較下，一致收斂是一個更“強”的概念。一致收斂的函式列必然逐點收斂，反之則不盡然。一個簡單的例子是開區間 上的函式列 ， 逐點收斂到函式 ，但並不一致收斂到0，因為

。

一致收斂能夠保持函式列的連續性，但逐點收斂不能。例如，上述函式 在閉區間 上連續，但是 逐點收斂到的函式 ，在上取值為0，在1上取值為1，不是連續函式。

中函式的取值可以是實數，也可以是任何使得其定義有意義的拓撲空間。一致收斂函式的適用範圍則相對較小，只能在一個度量空間中定義，因為定義中使用到了距離的概念。

拓撲性質

逐點收斂也可以理解為由半範數建立的拓撲。具有這種拓撲的函式組成的空間叫做逐點收斂空間。這個拓撲與乘積拓撲是等價的。如果的定義域和值域都是緊緻的，根據吉洪諾夫定理，這個空間也是緊緻的。

測度論

在測度理論中，對一個可測空間上的可測函式有幾乎處處收斂的概念，也就是說幾乎處處逐點收斂。葉戈羅夫定理說明，在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂，意味著在稍微較小的集合上一致收斂。