迪尼定理

迪尼定理是一個分析方向的數學定理,提出者是烏利塞·迪尼。

基本介紹

  • 中文名:迪尼定理
  • 外文名:Dini theorem
  • 提出者:烏利塞·迪尼
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:函式
  • 適用領域範圍:數學
定理定義,驗證推導,

定理定義

在數學中,迪尼定理敘述如下:設 X 是一個緊緻的度量空間,
是 X 上的一個單調遞增的連續實值函式列,即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有
如果這個函式列逐點收斂到一個連續的函式
,那么這個函式列一致收斂到
。這個定理以義大利數學家烏利塞·迪尼命名。
對於單調遞減的函式列,定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一,原因是由單調性這個更強的條件。
注意定理中的
一定要是連續的,否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函式列 {
}。這是一個單調遞減函式,逐點收斂到函式
:當
等於0,等於1。但這個函式列不是一致收斂的,因為
不連續。

驗證推導


我們對單調遞增的函式列作證明:對於任意ε>0 ,對每個 n ,設
再設
為使得
其中
顯然每個
都連續,於是每個
都是開集(在拓撲空間中,連續函式被定義為使得開集的原像都是開集的函式,可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的,而[0, ε)是正實數集中的開集。函式列{
} 是單調遞減的,因此
的子集。又由於
逐點收斂到 f ,所有(
) 的並集是 X 的一個開覆蓋。但是 X是一個緊集於是存在正整數 N 使得
。因此對所有
,對所有的
,都有
於是{
} 一致收斂於

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