介紹
對於單調遞減的函式列，定理同樣成立。這個定理是少數的由
逐點收斂可推出
一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件。
注意定理中的
f一定要是連續的，否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函式列 {
x}。這是一個單調遞減函式，逐點收斂到函式
f：當
x屬於 [0,1) 時
f(
x) 等於 0 ，
f(
1) 等於 1。但這個函式列不是
一致收斂的，因為
f不連續。
證明
我們對單調遞增的函式列作證明：對於任意
，對每個
n，設
再設
為使得
的
。顯然每個
都連續，於是每個
都是
開集（在
拓撲空間中，連續函式被定義為使得開集的原像都是開集的函式，可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的，而
是正實數集中的開集）。函式列
是單調遞減的，因此
是
的子集。又由於
逐點收斂到
f，所有（
） 的
並集是
X的一個
開覆蓋。但是
X是一個
緊集於是存在正整數
N使得
。因此對所有
，對所有的
，都有
，於是
一致收斂於
f。
