一致收斂

一致收斂是高等數學中的一個重要概念，又稱均勻收斂。一致收斂是一個區間（或點集）相聯繫，而不是與某單獨的點相聯繫。除了柯西準則和餘項準則外，還可以通過Weierstrass判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法來判別函式項級數是否一致收斂。

基本介紹

• 中文名：一致收斂
• 外文名：Uniform Convergence
• 所屬學科：高等數學
• 別稱：均勻收斂
• 性質：一致收斂與一個區間相聯繫
• 判別法：Weierstrass、Abel、Dirichlet

數項級數

設 是關於i的數項級數，且 均有收斂的無窮級數

成立。若任給 ，存在 ，使得當 時，

成立，則稱一列收斂級數關於一致收斂。

函式項級數

設 是定義在數集I上的函式列，表達式

稱為定義在I上的函式項級數，而

稱為函式項級數的部分和。

對於每一個 ，如果常數項級數 收斂，則 稱為函式項級數 的收斂點；如果常數項級數 發散，則 稱為函式項級數 的發散點。

定義

若對任給的正數 ，不論它如何小，常能找到一個只依賴於 但與 無關的數 ，使對 以及區間 中的每一 ，都有

則稱級數 在區間 上一致收斂。

判別法

柯西準則

函式列 在數集D上一致收斂的充要條件是：

對任給 >0，總存在正整數N，使得當 時，對一切 ，都有 。

餘項準則

函式列 在數集D上一致收斂的充要條件是：

Weierstrass判別法

若對充分大的n，恆有實數 ，使得 對E上任意的x都成立，並且數項級數 收斂，則 在E上一致收斂。

Abel判別法

如果

1）函式項級數 在E上一致收斂

2）對每一固定的 ， 隨n而單調，而對任意的 和n，有 （不依賴於x和n的定數）

那么 在E上一致收斂。

Dirichlet判別法

如果

1）函式項級數 的部分和 在E上一致有界

2）對每一 ， 隨n而單調，並且函式序列 在E上一致收斂於零

那么 在E上一致收斂。