積分一致絕對連續是描述測度空間中一列函式的積分絕對連續的一致性的重要概念。
測度空間是定義了測度的可測空間。設(Ω，F)是可測空間，μ是F上的測度，(Ω，F，μ)稱為測度空間。當μ是F上的有限測度(σ有限測度)時，相應地稱(Ω，F，μ)是有限測度空間(σ有限測度空間)。
基本介紹
- 中文名：積分一致絕對連續
- 外文名：uniformly absolute continuity of integrals
- 領域：數學
- 空間：測度空間
- 意義：描述函式的積分絕對連續的一致性
- 函式：絕對連續函式
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概念
積分一致絕對連續(uniformly absolute continuity of integrals)是描述一列函式的積分絕對連續的一致性的重要概念。設(Ω，F，μ)為測度空間，fn(n=1，2，…)在Ω上可積。如果對任給ε>0，存在δ>0，當A∈F，μ(A)<δ時，有：
則說{fn}的積分是一致絕對連續的。
絕對連續函式
絕對連續函式是一類極為重要的函式。設f(x)是[a，b]上的函式，若對任給ε>0， 存在δ>0，使得對於在[a，b]上任意有限個互不相交的開區間(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，當：
時，就有：
則f(x)稱為[a，b]上的一個絕對連續函式。令：
則f(x)在[a，b]上絕對連續的充分必要條件為：當Δ→0時，
一致收斂於0。絕對連續函式的名稱由維塔利(Vitali，G.)提出。絕對連續函式的主要性質有：
1.若f(x)與g(x)都是[a，b]上的絕對連續函式，則：
f(x)±g(x)， f(x)g(x)， f(x)/g(x) (g(x)≠0)也是[a，b]上的絕對連續函式。
2.若g(x)是[α，β]上的絕對連續函式，a≤g(x)≤b，f(x)在[a，b]上滿足利普希茨條件，則f[g(x)]是[α，β]上的絕對連續函式(但任意兩個絕對連續函式的複合函式未必絕對連續)。
3.絕對連續函式一定是有界變差函式，但有界變差函式未必是絕對連續函式。
4.若f(x)在[a，b]上絕對連續，且f′(x)=0 a.e.於[a，b]，則f(x)為一常數。
5.若f(x)在[a，b]上絕對連續，且f′(x)≥0 a.e.於[a，b]，則f(x)為一單調增加函式。
6.若f(x)在[a，b]上絕對連續，則f(x)具有性質(N)，即對任何零集E⊂[a，b]，f(E)仍為零集；性質(N)的名稱由盧津(Лузин，Н.Н.)提出。
7.(巴拿赫-查列茨基定理)若f(x)是[a，b]上的連續的有界變差函式，且具有性質(N)，則f(x)是一絕對連續函式。
8.f(x)在[a，b]上絕對連續的充分必要條件為Va(f)是絕對連續函式。
9.絕對連續函式幾乎處處可微，是它的導函式的廣義原函式。
測度空間
定義了測度的可測空間。設(Ω，F)是可測空間，μ是F上的測度，(Ω，F，μ)稱為測度空間。當μ是F上的有限測度(σ有限測度)時，相應地稱(Ω，F，μ)是有限測度空間(σ有限測度空間)。在各種特殊情況下，相應有勒貝格測度空間、勒貝格-斯蒂爾傑斯測度空間、波萊爾測度空間等名稱。
可測空間
測度的定義域，測度論中的基本概念。設F是基本空間Ω上的σ代數，稱(Ω，F)為可測空間，而稱F中的元素A是(Ω，F)中的可測集，也稱為Ω中的F可測集，簡稱可測集。例如，當F是R中的波萊爾集類B時，(R，B)稱為波萊爾可測空間。當F是R中的勒貝格可測集類L時，(R，L)稱為勒貝格可測空間。可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。
測度
數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。
定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為機率測度。
