一致收斂判別法

一致收斂判別法是判定函式列與函式項級數是否收斂的重要方法，其中比較著名的有柯西準則、魏爾斯特拉斯判別法以及阿貝爾判別法等，它們是數學分析中重要的理論基礎。

基本介紹

• 中文名：一致收斂判別法
• 外文名：uniform convergence test
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：函式列與函式項級數

函式列及其一致收斂性

設

是一列定義在同一數集E上的函式，稱為定義在 上的函式列，簡記為。

對於函式列，我們不僅要討論它在哪些點上收斂，而更重要的是要研究極限函式所具有的解析性質。比如能否由函式列每項的連續性判斷出極限函式的連續性。又如極限函式的導數和積分，是否分別是函式列每項導數或積分的極限。對這些問題的討論，只要求函式列在數集D上的收斂是不夠的，必須對它在D上的收斂性提出更高的要求才行，這就是以下所要討論的一致收斂性問題。

定義1

設函式列 與函式 定義在同一數集D上，若對任給的正數 ，總存在某一正整數N，使得當 時，對一切 ，都有

則稱函式列 在D上一致收斂於 ，記作

由定義可以看到，如果函式列 在D一致收斂，那么對於所給的 ，不管D上的哪一點 ，總存在公共的 （即N的選取僅與 有關，與 的取值無關），只要 ，都有

由此看到函式列 在D上一致收斂，必在D上的每一點都收斂。反之，在D上每一點都收斂的函式列 ，在D上不一定一致收斂。

定理1（函式列一致收斂的柯西準則）

函式列 在數集D上一致收斂的充要條件是：對任給正數 ，總存在正數N，使得當 時，對一切 ，都有

函式項級數及其一致收斂性

設 是定義在數集E上的一個函式列，表達式

稱為定義在E上的函式項級數，簡記為或。稱

為函式項級數（2）的部分和函式列。

若，數項級數

收斂，即部分和當時極限存在，則稱級數（2）在點收斂，稱為級數（2）的收斂點。若級數（4）發散，則稱級數（2）在點發散。若級數（2）在E上某個子集D上每點都收斂，則稱級數（2）在D上收斂。若D為級數（2）全體收斂點的集合，這時則稱D為級數（2）的收斂域。級數（2）在D上每一點與其所對應的數項級數（4）的和構成一個定義在D上的函式，稱為級數（2）的和函式，並寫作

即

也就是說，函式項級數（2）的收斂性就是指它的部分和函式列（3）的收斂性。

定義2

設是函式項級數的部分和函式列。若在數集D上一致收斂於，則稱在上一致收斂於。

定理2（一致收斂的柯西準則）

函式項級數在數集D上一致收斂的充要條件為：對任給的正數，總存在某正整數N，使得當時，對一切和一切正整數，都有

或

函式項級數的一致收斂性判別法

定理3（魏爾斯特拉斯判別法）

設函式項級數定義在數集D上， 為收斂的正項級數，若對一切，有

則函式項級數在D上一致收斂。

下面討論定義在區間上形如

的函式項級數的一致收斂性判別法，它與數項級數一樣，也是基於阿貝爾分部求和公式。

定理4（阿貝爾判別法）

設

（i）在區間上一致收斂；

（ii）對於每一個，是單調一致有界的；

（iii）在上一致有界，即對一切和正整數n，存在正數M，使得

則級數（5）在上一致收斂。