葉戈羅夫定理

測度論中,葉戈羅夫定理確立了一個可測函式逐點收斂序列一致連續的條件。這個定理以俄國物理學家和幾何學家德米特里·葉戈羅夫命名,他在1911年出版了該定理。

葉戈羅夫定理與緊支撐連續函式在一起,可以用來證明可積函式盧津定理

基本介紹

定理的陳述,假設的討論,證明,

定理的陳述

設(M,d)為一個可分度量空間(例如實數,度量為通常的距離d(a,b)= |ab|)。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函式的序列(fn),以及一個有限μ-測度的可測子集A,使得(fn)在A上μ-幾乎處處收斂於極限函式f,那么以下結果成立:對於每一個ε>0,都存在A的一個可測子集B,使得μ(B)<ε,且(fn)在相對補集A\B上一致收斂於f
在這裡,μ(B)表示B的μ-測度。該定理說明,在A上幾乎處處逐點收斂,意味著除了在任意小測度的某個子集B上外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

假設的討論

注意μ(A) < ∞的假設是必要的。在勒貝格測度下,考慮定義在實直線上的實值指示函式的序列:
這個序列處處逐點收斂於零函式,但對於任何有限測度的集合B,它在R\B上不一致收斂。度量空間的可分性是需要的,以保證對於M-值可測函式fg,距離d(f(x),g(x))也是x的可測實值函式。

證明

對於實數nk,定義集合En,k為以下並集
n增加時這些集合逐漸變小,意味著En+1,k總是En,k的子集,因為第一個並集包含了較少的集合。一個點x,使得序列(fm(x))收斂於f(x),不能位於每一個En,k中(對於固定的k),因為fm(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設,有:
對於每一個k。由於A的測度是有限的,我們便可從上面推出連續性;因此對於每一個k,都存在某個自然數nk,使得:
對於這個集合中的x,我們認為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義
A中所有點x的集合,使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此,在集合差A\B上,我們便得出一致收斂。
根據μ的σ可加性,並利用幾何級數,我們便得到:

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