盧津定理

盧津(Лузин)定理實分析的定理。約略來說,這定理指可測函式差不多是連續函式

基本介紹

一維形式,證明,多維形式,相關概念,實分析,可測函式,

一維形式

可測函式,對任何
,都存在緊緻集E,使得
,而且f限制到E上是連續函式。此處
勒貝格測度

證明

因為f可測,所以在一個測度任意小的開集以外,f有界函式。在開集上重定義f為0,那么f在[a,b]上有界,因而是可積函式。因為連續函式在可積函式的空間
稠密,存在連續函式序列
依L範數收斂至f,即
。故此有子序列
幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外,
一致收斂f。因為連續函式的一致收斂極限仍是連續的,故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集,那么原本的fE上連續。

多維形式

上的正則博雷爾測度,
可測函式X
中的
可測集,而且
,那么對任意
X中存在緊緻集K,使得
,而且f限制到K上是連續函式

相關概念

實分析

實分析實數分析是處理實數及實函式的數學分析。專門實數函式數列的解析特性,包括實數數列的極限,實函式的微分積分連續性,光滑性以及其他相關性質。
實分析常以基礎集合論,函式概念定義等等開始。

可測函式

可測函式可測空間之間的保持(可測集合)結構的函式,也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函式。數學分析中的不可測函式一般視為病態的。
如果Σ是集合X上的σ代數ΤY上的σ代數,則函式f:XYΣ/Τ可測的,如果Τ內的所有集合的原像都在Σ內。
根據慣例,如果Y是某個拓撲空間,例如實數空間R,或複數空間C,則我們通常使用Y上的開集所生成的波萊爾σ代數,除非另外說明。在這種情況下,可測空間(X,Σ)又稱為波萊爾空間。
如果從上下文很清楚Τ和Σ是什麼,則函式f可以稱為Σ可測的,或乾脆稱為可測的。

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