強可測矢量值函式

強可測矢量值函式是可測數值函式概念在賦范線性空間上的推廣。強可測向量值函式的線性組合也是強可測的。

基本介紹

• 中文名：強可測矢量值函式
• 外文名：strongly measurable vector valued function
• 適用範圍：數理科學

簡介

強可測矢量值函式是可測數值函式概念在賦范線性空間上的推廣。

設(Ω,𝓕,μ)是測度空間，x(t)是定義在Ω上而且取值於賦范線性空間X的向量值函式。如果存在Ω上的一列可數值函式{x_n(t)}，使得{x_n(t)}關於μ幾乎處處強收斂於x(t)，即||x_n(t)-x(t)||關於μ幾乎處處收斂於0，則稱x(t)在Ω上（取值於X）是強可測的。

實例

可數值函式是強可測的。

按強拓撲連續的向量值函式是強可測的。

強可測向量值函式的線性組合也是強可測的。

性質

如果向量值函式x(t)是強可測的，則數值函式||x(t)||必是可測的。

如果x(t)是強可測向量值函式，而α(t)為有限實值可測函式，則α(t)x(t)亦為強可測函式。

如果強可測向量值函式列x(t)，則x(t)亦必是強可測的。

推論

對於強可測函式而言，也有相應的葉戈羅夫定理和盧津定理。

葉戈羅夫定理斷言：如果(Ω,𝓕,μ)有限測度空間，而定義在Ω上取值於巴拿赫空間X的強可測向量值函式列{x_n(t)}關於μ幾乎處處強收斂於x(t)，那么對任給ε>0，存在於A∈𝓕，使得μ(A)<ε，且{x_n(t)}在Ω\A上一致收斂於x(t)。

盧津定理定理斷言：如果Ω是數值，(Ω,𝓕,μ)是測度空間，x(t)是定義在Ω上而取值於巴拿赫空間X的強可測函式，那么對任意ε>0，存在閉集A使得μ(Ω\A)<ε，且x(t)在A上按強拓撲是連續的。