可測函式

可測函式是可測空間之間的保持（可測集合）結構的函式，也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函式。

數學分析中的不可測函式一般視為病態的。

基本介紹

• 中文名：可測函式
• 外文名：measurable function
• 性質：只有可測函式可以進行勒貝格積分
• 套用學科：數學
• 相關術語：不可測函式
• 定義：是可測空間之間的保持結構的函式

定義

設f是定義在可測集E上的實函式。如果對每一個實數，集E[f>a]恆可測（勒貝格可測），則稱f是定義在 E上的（勒貝格）可測函式。

定理　設f是定義在可測集E上的實函式，下列任一個條件都是在E上（勒貝格）可測的充要條件：

（1） 對任何有限實數a，E[f>=a]都可測；

（2） 對任何有限實數a，E[f<a]都可測；

（3） 對任何有限實數a，E[f=<a]都可測；

（4） 對任何有限實數a,b，E[a=<f<b]都可測。

設(X,F)為一可測空間，E是一個可測集。f: E→R*為定義在E上的函式。若對任意實數a，總有{x∈E: f(x)<a}∈F，則稱f為E上的F-可測函式（簡稱E上的可測函式）。

特別地，若可測空間取為是Rⁿ上的Lebesgue可測空間。E是Rⁿ中的Lebesgue可測集。則E上的可測函式成為Lebesgue可測函式。若可測空間取為Rⁿ上的Borel可測空間，E是Rⁿ中的Borel集，則E上的可測函式稱為Borel可測函式。

特殊函式

如果(X,Σ)和(Y,Τ)是波萊爾空間，則可測函式f又稱為波萊爾函式。所有連續函式都是波萊爾函式，但不是所有波萊爾函式都是連續函式。然而，可測函式幾乎是連續函式；參見盧辛定理。

根據定義，隨機變數是定義在樣本空間上的可測函式。

性質

（1）兩個可測的實函式的和與積也是可測的。

（2）如果函式f是可測的，函式g是可測的，那么複合函式是可測的。

（3）可數個可測函式的最小上界也是可測的。如果是一個可測函式序列，在[−∞,+∞]中取值，那么也是可測的。

（4）可測函式的逐點極限是可測的。（連續函式的對應命題需要比逐點收斂更強的條件，例如一致收斂。）

（5）只有可測函式可以進行勒貝格積分。

（6）一個勒貝格可測函式是一個實函式f:R→R，使得對於每一個實數a，集合

都是勒貝格可測的集合。勒貝格可測函式的一個有用的特徵，是f是可測的若且唯若mid{-g,f,g}對於所有非負的勒貝格可積函式g都是可積的。

不可測函式

不是所有的函式都是可測的。例如，如果A是實數軸的一個不可測子集，那么它的指示函式是不可測的。