波萊爾可測函式

波萊爾可測函式(Borel measurable function)亦稱波萊爾函式，是與波萊爾集相適應的可測函式。設f(x)是定義在波萊爾集B⊂Rⁿ上的擴充實值函式，若對任意實數α，點集{x∈B|f(x)>α}是一波萊爾集，則稱f(x)是B上的波萊爾可測函式。這類函式構成了勒貝格可測函式類的子類，Rⁿ中勒貝格可測函式與波萊爾函式的複合函式有如下關係：B°B=B， L°B=L， B°L=X， L°L=X，其中B，L分別表示波萊爾可測、勒貝格可測，X表示不一定可測。

基本介紹

• 中文名：波萊爾可測函式
• 外文名：Borel measurable function
• 所屬學科：數學
• 別名：波萊爾函式
• 相關概念：波萊爾集，可測函式等

定義

假設，是定義在上的單值實函式，稱為(m元)波萊爾函式，如果對於任意實數，其中是m維波萊爾代數。波萊爾函式又叫做波萊爾可測函式(或-可測函式)。

波萊爾函式是一類相當廣泛的函式，它包括一切階梯函式、一切連續函式和分段連續函式。波萊爾函式經過有限次的加、減、乘、除運算以及函式的複合，仍然是波萊爾函式；波萊爾函式列的(上、下)極限以及上確界和下確界仍然是波萊爾函式。

相關性質定理

1. 波萊爾函式是相當廣泛的一類函式：一切波萊爾集的示性函式都是波萊爾函式；即如果，則它的示性函式

是波萊爾函式。

2. 假設而是任意n個實數，那么

是波萊爾函式(稱做波萊爾階梯函式)。

3. 如果是一列波萊爾函式，則

都是波萊爾函式。

4. 一切連續函式都是波萊爾函式。

5. 如果，是m元波萊爾函式，而，是一元波萊爾函式，則，是一元波萊爾函式。特別，如果和是波萊爾函式，則都是波萊爾函式。

引理1 假設，是波萊爾函式，而是機率空間上的m維隨機向量。那么，是一隨機變數。