函式空間S

函式空間S又為函式空間S(E),是可測函式組成的函式類。可以在測度空間上,類似的建立S空間。

基本介紹

  • 中文名:函式空間S
  • 外文名:function spaces S
  • 適用範圍:數理科學
簡介,定義,可測函式,

簡介

函式空間S又為函式空間S(E),是可測函式組成的函式類。
可以在測度空間上,類似的建立S空間。

定義

設E是Rn內的勒貝格可測集,E上所有幾乎處處有限的可測函式之集記為S(E),不強調E時簡記為S。
對於f∈S(E),令
,則S(E)是以||・||為準範數的弗雷歇空間,且在其中依準範數的收斂等價於依測度收斂。可以在測度空間上,類似的建立S空間。

可測函式

設f是定義在可測集E上的實函式。如果對每一個實數,集E[f>a]恆可測(勒貝格可測),則稱f是定義在 E上的(勒貝格)可測函式。
設(X,F)為一可測空間,E是一個可測集。f: E→R*為定義在E上的函式。若對任意實數a,總有{x∈E: f(x)<a}∈F,則稱f為E上的F-可測函式(簡稱E上的可測函式)。
特別地,若可測空間取為是Rn上的Lebesgue可測空間。E是Rn中的Lebesgue可測集。則E上的可測函式成為Lebesgue可測函式。若可測空間取為Rn上的Borel可測空間,E是Rn中的Borel集,則E上的可測函式稱為Borel可測函式。

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