基本介紹
- 中文名：伯格曼空間
- 外文名：Bergman space
- 領域：數學
- 性質：解析函式空間
- 提出者：伯格曼
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概念
伯格曼空間(Bergman space)是區域上平方可積的解析函式空間。一般地，對1≤p<+∞，令Lp(D)表示域D上勒貝格可測函式f(z)所成的巴拿赫空間，其範數為：
函式空間
數學中，函式空間指的是從集合X 到集合 Y 的給定種類的函式的集合。其叫做空間的原因是在很多套用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。經典分析學研究中出現了許多重要的函式空間。對一些類型的函式空間，現已取得相當豐富的理論成就。
經典分析學處理問題往往泛言或零散地看待所考慮的函式。雖有時取符合於某種規定的函式類X，但沒有明確地把X當作幾何的對象。現代分析學的一般方法在於視Ω為拓撲空間或測度空間又以問題的需要規定類中映射（即函式）：Ω→A滿足的條件，諸如連續性、有界性、可測性、可微性、可積性等；從幾何學、拓撲學及代數學的角度，對X一方面賦與關於加法與數量乘法的封閉性，這裡加法為：ƒ∈X，g∈X→ƒ+g∈X，(ƒ+g)(x)=ƒ(x)+g(x)，對x∈Ω；數量乘法為：ƒ∈X，λ∈A→λƒ∈X，(λƒ)(x)=λƒ(x)，對x∈Ω（即X對通常函式的線性運算封閉）；另一方面使之成為拓撲空間，且兩方面又滿足一定的要求（例如線性運算關於拓撲是連續的等）。這樣，函式空間X通常也是拓撲線性空間。經典分析學研究中出現了許多重要的函式空間。對一些類型的函式空間，現已取得相當豐富的理論成就。
巴拿赫空間
完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
伯格曼
美籍數學家。生於波蘭的琴斯托霍瓦。1933年在德國柏林大學獲數學博士學位。1931—1933年在柏林大學任不支薪講師；1934—1937年先後在蘇聯托木斯克及提比里西大學任教授；1939—1940年在美國麻薩諸塞理工學院任講師；1940—1941年任耶西華學院講師；1941—1945年任布朗大學講師；1945—1951年任哈佛大學講師;1951—1952年回麻薩諸塞理工學院任講師；1952—1974年在史丹福大學任教授，1974年退休任榮譽教授。美國數學會、工業與套用數學會、美國藝術與科學學院院士。專業興趣：純粹數學與套用數學，包括多複變函數、偏微分方程、流體力學等。1922年與博赫納(S.Bochner)一起提出了核函式的概念，它是研究多複變函數的有效工具。1949年研究偏微分方程，獲得一些解的積分表達式。著作有《核函式與正則映射》(The Kernel Function and Conformal Mapping， 1950;中譯本，科學出版社，1958)，與M·希費爾合著的《數學物理中的核函式與橢圓微分》(Kernel Functionand Elliptic Differential in Mathematical Physics， 1953)等。
