基本函式空間K

設K（或記為𝒟）是Rn上無限次可微而且有緊支集的函式全體，在通常的線性運算下成為線性空間。

基本介紹

• 中文名：基本函式空間K
• 外文名：fundamental function space K
• 適用範圍：數理科學

簡介

基本函式空間K是一類測試函式。

線性空間

設φ是定義在n維歐幾里得空間Rⁿ上的函式，稱的閉包為φ的支集，記為supp φ。

設 為非負整數組，記

當p_j=0時，表示不對x_j求偏導。特別地，記0=(0,0,...,0)，D⁰φ=φ。

設K（或記為𝒟）是Rⁿ上無限次可微而且有緊支集的函式全體，在通常的線性運算下成為線性空間。

定義

設函式列{φ_m}⊂K，q∈K，如果：

1.存在有界集s，使得，即{φ_m}的支集一致有界；

2.對任何p，{D^pφ_m}在Rⁿ上一致收斂於D^pφ，則稱{φ_m}在K中收斂於φ，記為

按上述線性運算和極限運算，稱K是一個基本函式空間，而K中每個函式為基本函式或測試函式。

性質

K是非空的，例如對任何a>0，

是 K 中的函式，其中

設Ω 是 Rⁿ 中的有界閉集，K中支集包含在Ω 中的函式全體記為K_Ω，它是線性空間，且按半範數族 成為局部凸拓撲線性空間，其中

基本函式空間 K 恰好是一切K_Ω的嚴格歸納極限。