可測空間

可測空間(measurable space)是測度論中的基本概念，可測空間和定義在可測空間上的測度構成測度空間。可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。

基本介紹

• 中文名：可測空間
• 外文名：measurable space
• 相關概念：可測集
• 舉例：波萊爾可測空間、勒貝格可測空間
• 數學理解：測度的定義域
• 領域：測度論

定義

可測空間

定義1 設X是一個非空集， 是X的一個σ代數，稱（X， ）為一個可測空間。每個集合A∈ 是（X， ）中的可測集，也稱為X中的 可測集，簡稱可測集。

例如，當 是Rⁿ中的波萊爾集類B 時，(Rⁿ，B)稱為波萊爾可測空間；當 是Rⁿ中的勒貝格可測集類L時，(Rⁿ，L)稱為勒貝格可測空間。

註：1.可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。

2.若集函式 具有以下性質：

（1）

（2）若 互不相交，有

則稱 為（X， ）上的一個測度，稱三元組 為測度空間。

性質

設 (E， ) 與 (E′， ′) 為兩個可測空間.，稱從E到E′中的映射f 是 ( ， ′) 可測的。 或更簡單地說，f 是可測的，如果E′ 的任一可測子集經f 的逆象是E的可測子集。兩個可測映射的合成仍是可測的映射。為使映射f 可測，只須對生成σ-代數 ′ 的 ′之子集的任一元 素A′，其經由f 的逆象可測。

如果E′是拓撲空間，且 ′是E′的波雷爾σ-代數，為使從E到E′中的映射f 可測，只須E′的任一開集經由f 的逆象可測。當E′為可分度量空間時，為使f 可測，只須E′的任一開球經由f 的逆象可測。

當E與E′為賦以它們的波雷爾σ-代數的拓撲空間時，從E到E′中的任一連續映射都是可測的。