若爾當可測集(Jordan measurable set)是其若爾當內、外容度相等的有界集。有界集A若爾當可測有許多充分必要條件，A的邊界的若爾當容度為0是其一。
有界集是拓撲線性空間中的一類子集。對於拓撲線性空間E的子集S，若對零元的每個鄰域U，存在正數δ(U)，使得對一切|λ|≤δ(U)，有λS⊂U成立，則S稱為有界的。
基本介紹
- 中文名：若爾當可測集
- 外文名：Jordan measurable set
- 領域：數學
- 學科：測度論
- 性質：若爾當內、外容度相等
- 提出者：若爾當
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概念
若爾當可測集(Jordan measurable set)是其若爾當內、外容度相等的有界集。有界集A若爾當可測有許多充分必要條件，A的邊界的若爾當容度為0是其一。由此可見，通常的圖形如多邊形、球形和多面體形區域都是若爾當可測集，但也很容易舉出若爾當不可測集來。
可測空間
測度的定義域，測度論中的基本概念。設F是基本空間Ω上的σ代數，稱(Ω，F)為可測空間，而稱F中的元素A是(Ω，F)中的可測集，也稱為Ω中的F可測集，簡稱可測集。例如，當F是R中的波萊爾集類B時，(R，B)稱為波萊爾可測空間。當F是R中的勒貝格可測集類L時，(R，L)稱為勒貝格可測空間。可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。
測度論
亦稱抽象測度論或抽象積分論，研究一般集合上的測度和積分的理論。是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展。測度是集合的一種度量，它是長度、面積、體積概念的推廣。
一般集合上的測度和積分理論是最廣泛的測度理論，但為適應各方面的需要，還出現了其他種種特殊的測度和積分。例如，20世紀30年代初，伴隨著人們對取值於巴拿赫空間的函式性質特別是可微性和可積性的研究，出現了有關向量值測度的一些工作。1960年以後，向量值測度理論得到蓬勃發展，並逐漸趨於完善。又如，19世紀建立的傅立葉分析理論，對於套用數學而言，當時已是令人滿意的數學工具，但由於黎曼積分的局限性，對於函式與展開式之間的關係，直到勒貝格積分理論確立之後才有深刻的揭示.勒貝格積分的出現對於傅立葉展開的研究顯然促進了一大步，但依舊顯示出了它的局限性。研究拓撲群上的測度是建立群上傅立葉分析的基本問題之一，這個問題自1930年以來，經過哈爾(A.Haar)、韋伊(A.Weil)和蓋爾范德(И.М.Гельфанд)等人的工作而趨於完善。再如，20世紀初測度論的建立，使得人們對R中的子集關於n維勒貝格測度的性質有了很好的了解。但在處理與R中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。在這種背景下，20世紀20年代出現了幾何測度論，它是研究高維空間中低維點集的測度及低維點集上積分的理論。
有界集
拓撲線性空間中的一類子集。對於拓撲線性空間E的子集S，若對零元的每個鄰域U，存在正數δ(U)，使得對一切|λ|≤δ(U)，有λS⊂U成立，則S稱為有界的。對於拓撲線性空間E的子集S，下面三條是等價的：
1.S是有界集。
2.對於趨於0的任何數列{λn}以及S中任何點列{xn}均有λnxn→0。
3.對每個點列{xn}⊂S，有xn/n→0。
拓撲線性空間中的有界集是賦范線性空間中用範數定義的有界集概念的推廣。
若爾當容度
長度(或面積、體積)概念的一種推廣。以平面情形為例，設A為xy平面上的有界點集，先用平行於x軸和平行於y軸的直線，將xy平面分為邊長為1的閉正方形格線，第二次再將這每個正方形分為四個大小相同的閉正方形，如此下去。用Kn表示至少含A的一個點的那些第n次所得閉正方形組成之集，用Gn表示第n次得到的正方形中全部含於A的那些組成之集，並且用|Kn|和|Gn|分別表示Kn和Gn中的閉正方形的面積之和。當A的內、外容度相等時，A稱為若爾當可測，這個公共值稱為A的若爾當容度，簡稱容度，記為|A|。對直線上以及一般R中的集合可以類似地定義它的可測性及容度。可以證明，一個集合在若爾當意義下可測與否以及可測時的容度數值，與上述定義中的分法及坐標軸方向無關。
若爾當容度具有非負、單調、有限可加及在正交變換下(可測性及容度)不變等性質.它是由佩亞諾(G.Peano)於1887年、若爾當(M.E.C.Jordan)於1892年提出的。若爾當在其1893年出版的《分析教程》中對它作了詳細闡述，提出的目的主要是為了完善黎曼意義下的二重積分理論。黎曼積分只能在若爾當可測集上進行。若爾當容度是與黎曼積分相適應的，它的局限性在於，可測集類不夠廣泛和只有有限可加性(例如有理點集就是不可測的)。這也說明了黎曼積分的局限性。
若爾當
法國數學家。生於里昂，卒於巴黎。1855年入巴黎綜合工科學校，1861年獲博士學位。從1873年起，同時在巴黎綜合工科學校和法蘭西學院執教。1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為聖彼得堡科學院通訊院士。1885—1921年擔任《純粹與套用數學雜誌》編輯。若爾當在代數學、分析學、拓撲學和集合論等方面都有重要貢獻。他系統地發展了有限群論和伽羅瓦理論，證明了“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展無限群的研究，首先用一種線性變換來表示置換群。還論證了有限群定理，並套用到伽羅瓦開創的方向上，他的名著《置換與代數方程》(1870)首次對伽羅瓦理論進行全面而清晰的介紹，在數學界有很大影響，是此後30年間群論的權威著作。他建立了有界變差函式的概念，並證明這種函式可以表示為兩個增函式之差;他對平面或n維空間的任意集合引入外測度概念。他編寫的《分析教程》(1887)是19世紀的標準教科書，書中給出曲線的“若爾當定義”，並證明了拓撲學中的若爾當定理：一個簡單閉曲線將平面分成內、外兩部分。其證明的缺陷由美國數學家維布倫補足(1905)。他培養了不少優秀的學生，其中最著名的有C.F.克萊因和S.李等。
