勒貝格可測函式簡稱(L)可測函式，是比連續函式更廣的一類函式。定義在(L)零測度集上的任何實值函式以及區間上的半連續函式都是(L)可測函式。定義在(L)可測集上的任何連續函式都是(L)可測函式。
基本介紹
- 中文名：勒貝格可測函式
- 外文名：Lebesgue measurable function
- 適用範圍：數理科學
簡介,範圍,性質,
簡介
勒貝格可測函式簡稱(L)可測函式，是比連續函式更廣的一類函式。
設f(x)是定義在(L)可測集E⊂Rn上的擴充實值函式。若對任意實數α，點集{x∈E|f(x)>α}是(L)可測集，則稱f(x)是可測函式。在這個定義中，不等式f(x)≥α，f(x)<α，f(x)≤α中對任何一個來代替。
範圍
定義在(L)零測度集上的任何實值函式以及區間上的半連續函式都是(L)可測函式。
定義在(L)可測集上的任何連續函式都是(L)可測函式，但可測函式不一定連續。
性質
勒貝格可測函式的主要性質有：
1、若f(x)與g(x)在E上(L)可測，且在E上幾乎處處取有限值，則它們的和、差、積、商（分母不為零）均(L)可測；
2、若{fn(x)}是E上的(L)可測函式列，則下列函式都是E上的(L)可測函式：
3、若{fn(x)}是E上的(L)可測函式列，且以f(x)為極限，則f(x)在E上也(L)可測；
4、若f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等，則它們或都(L)可測，或都(L)不可測；
5、若f(x)在E上(L)可測，又E0為E的(L)可測子集，則f(x)在E0上也(L)可測；
6、若f(x)在每個Ei上都(L)可測，則f(x)在
和
上也(L)可測；
7、在可測集E上定義的函式可測的充分必要條件是，它可以表示成簡單函式列的極限。
