勒貝格分解定理

勒貝格分解定理(Lebesgue decomposition theorem)是關於σ有限廣義測度分解為絕對連續部分和奇異部分之和的重要定理，是有界變差函式的勒貝格分解定理的推廣。設(Ω，F，μ)是σ有限測度空間，若γ是(Ω，F)上的σ有限測度，則γ可分解為兩個σ有限測度γ_s和γ_c之和：γ=γ_s+γ_c，使得γ_s⊥μ，γ_c≪μ(γ_s關於μ是奇異的，γ_c關於μ是絕對連續的)。γ的上述分解是惟一的。

基本介紹

• 中文名：勒貝格分解定理
• 外文名：Lebesgue decomposition theorem
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：測度論(測度和積分)

基本介紹

設是有限測度空間，又是上的有限測度，則存在上的有限測度，使

且，的上述分解是唯一確定的。

定理的證明

引理1 設分別是可測空間上的測度和有限廣義測度，則v對絕對連續且v是奇異的充要條件是：對每一。（三個引理的證明請參考相應書籍）。

證明：充分性顯然。往證必要性，因v是奇異的，故有，且對每一，有，因對一切，均有，並注意，故對每一，，從而

對每一成立，這便證明了必要性。引理證完。

引理2 設為測度空間，又為上的有限廣義測度，那么

1) 若和，則；

2) 若和，則。

證明：1)是顯然的。往證2)。因和，故有，且對每一有，令，那么

且對任意都有

這便證明了是奇異的。引理證完。

引理3 設是有限測度空間，又v是上的有限測度，則存在非負可測實函式及上的有限測度，使得

且及對每一有

（第三個引理的證明請參考相應書籍）。

勒貝格分解定理的證明 由引理3知，存在上的有限測度，使

且，。下面我們證明上述分解式是唯一的。設v又可分解為，其中是上的有限測度，且，；那么從

得

由引理2知，既對絕對連續又是奇異的，再根據引理1，我們有