以機率1收斂

以機率1收斂(converges with probability one)亦稱幾乎必然收斂.、幾乎處處收斂、幾乎肯定收斂，是隨機變數列的一種較強的收斂性。若隨機變數列以機率1收斂，則它必然依機率收斂，反之則未必。

基本介紹

• 中文名：以機率1收斂
• 外文名：converges with probability one
• 別名：幾乎必然收斂、幾乎處處收斂等
• 所屬領域：機率論
• 相關概念：隨機變數列、依機率收斂等

定義

我們知道，隨機變數實際上是定義在機率空間上取值為實數的函式，因此我們可以像數學分析時論函式序列逐點收斂性那樣去討論隨機變數序列在每個樣本點處取值的收斂性。然而，由於隨機變數取值的隨機性，我們常常不可能期待隨機變數序列在所有樣本點處都存在極限，現在的問題是研究極限是否在一個機率為1的點集上存在。

設 和 是定義在機率空間 上的隨機變數。

1. 如果存在 使得且對任意 有 則稱 以機率1收斂(converges with probability one)或幾乎必然收斂(converges almost surely)於 ，記作。

2. 如果存在 使得且對任意 數列 是柯西基本列，即 則稱 以機率1是柯西基本列。

注: 以機率1收斂意味著最多除去一個零機率事件外， 逐點收斂於 ，根據柯西基本列一定存在極限的原則 以機率1收斂若且唯若 以機率1是柯西基本列。

以機率1收斂的判別準則

下面給出以機率1收斂的判別準則。

定理

設和是定義在機率空間上的隨機變數

(1) 若且唯若對任意

或者等價地

(2) 以機率1是柯西基本列若且唯若對任意

或者等價地

定理證明

(1)對任意令那么

由連續性定理

於是下列關係式成立

(2) 對任意令那么事件

{不是柯西基本列}=.

推論

如果對任意則

證明：注意到

即可。