依分布收斂

依分布收斂是隨機變數列的一種收斂性，設{ξ_n，n≥1}是機率空間(Ω，F，P)上的隨機變數列，其相應的分布函式列為{F_n(x)，n≥1}，如果F_n(x)弱收斂於隨機變數ξ的分布函式F(x)，則稱隨機變數列ξ_n依分布收斂到隨機變數ξ。

基本介紹

• 中文名：依分布收斂
• 外文名：convergence in distribution
• 所屬學科：數學
• 相關概念：隨機變數序列、依機率收斂等

定義

定義1

稱隨機變數序列 依分布收斂(convergence in distribution)於隨機變數X，如果對 的任意連續點x，都有

定義2

弱收斂 設 是一個分布函式列，如果存在一個分布函式 ，使得在 的每一個連續點上有

成立，則稱弱收斂於，並記為

依分布收斂 設為隨機變數序列，是對應的分布函式列，如果存在一個具有分布函式的隨機變數，使得則稱依分布收斂於，並記作。

我們必須指出，只有分布函式序列收斂到一個分布函式時，我們才說它是依分布收斂的，這一說明是必要的，因為分布函式序列可能收斂到一個函式，而這個函式不一定是一個分布函式。

實例分析

例1 (均勻樣本的最大值) 設 是獨立同分布的隨機變數，且都服從(0，1)區間上的均勻分布，令 問 是否依分布收斂、收斂於什麼?

分析： 我們估計當 時 趨於1，事實上，由於 恆小於1，所以對任意 都有

又因為 獨立同分布，所以

當 時趨於0，故 依機率收斂於1，然而，若令 ，則有

上式整理得

這就說明隨機變數 依分布收斂於某參數為1的指數型隨機變數。

注意，儘管我們定義的是隨機變數序列依分布收斂，其實質卻是累積分布函式而非隨機變數的收斂性，因此依分布收斂與依機率收斂、殆必收斂有著本質區別，不過，另兩種收斂都分別蘊含依分布收斂。

例2 考慮具有退化分布的隨機變數序列 若它的分布列為 這時 ，顯然，對任意的x∈R，有

這表明序列 不收斂到一個分布函式。

相關定理

定理1

如果隨機變數序列 依機率收斂於隨機變數X，則該序列也依分布收斂於X。

定理2

隨機變數序列 依機率收斂於常數 若且唯若該序列依分布收斂於 ，即，

等價於