分布函式

分布函式（英文Cumulative Distribution Function, 簡稱CDF），是機率統計中重要的函式，正是通過它，可用數學分析的方法來研究隨機變數。分布函式是隨機變數最重要的機率特徵，分布函式可以完整地描述隨機變數的統計規律，並且決定隨機變數的一切其他機率特徵。

基本介紹

• 中文名：分布函式
• 外文名：Cumulative Distribution Function
• 又稱：累積分布函式
• 作用：描述隨機變數的機率分布
• 定義域：全體實數
• 領域：數學
• 記作：Fx(x)

定義

設X是一個隨機變數，x是任意實數，函式 稱為X的分布函式。有時也記為 。

對於任意實數 ,

因此，若已知X的分布函式，就可以知道X落在任一區間上的機率，在這個意義上說，分布函式完整地描述了隨機變數的統計規律性。

如果將X看成是數軸上的隨機點的坐標，那么，分布函式F(x)在x處的函式值就表示X落在區間 上的機率。

分布函式的性質

F(x)為隨機變數X的分布函式，其充分必要條件為：

1.非降性

(1)F(x)是一個不減函式

對於任意實數

2.有界性

(2）

從幾何上說明，將區間端點x沿數軸無限向左移動（即 )，則“隨機點X落在點x左邊”這一事件趨於不可能事件，從而其機率趨於0，即有 ;又若將點x無限右移（即 )，則“隨機點X落在點x左邊”這一事件趨於必然事件，從而趨於機率1，即有

3右連續性

(3) ;

證明：因為 F（x）是單調有界非減函式，所以其任一點x₀的右極限F（x₀+0）必存在。

為證明右連續，由海涅定理，只要對單調下降的數列 當 時,

證明 成立即可。 因為 ：

所以得，

離散性隨機變數的分布函式

設離散性隨機變數X的分布列為

由機率的可列可加性得 ，

即

其中和式是對滿足 的一切k求和．離散型隨機變數的分布函式是分段函式， 的間斷點就是離散型隨機變數的各可能取值點，並且在其間斷點處右連續．離散型隨機變數 的分布函式 的圖形是階梯形曲線． 在 的一切有(正)機率的點 ，皆有一個跳躍，其跳躍度正好為 取值 的機率 ，而在分布函式 的任何一個連續點x上， 取值x的機率皆為零。

離散型隨機變數的分布律和它的分布函式是相互唯一決定的。它們皆可以用來描述離散型隨機變數的統計規律性，但分布律比分布函式更直觀簡明，處理更方便。因此，一般是用分布律(機率函式)而不是分布函式來描述離散型隨機變數。

連續性隨機變數的分布函式

1.定義

設X為連續型隨機變數，其密度函式為 ，則有

對上式兩端求關於x的導數得

這正是連續型隨機變數X的分布函式與密度函式之間的關係。

2.幾種常見的連續性隨機變數的分布函式

(1)設 ,則隨機變數X的分布函式為

(2)設 ，則隨機變數X的分布函式為

(3)設 ，則隨機變數的分布函式為

對於 ，其分布函式為

聯合分布函式

定義

給定一個隨機變數 ，稱定義域為整個平面的二元實值函式

為隨機變數(X，y)的分布函式。或稱為X與y的聯合分布函式．

按照分布函式的定義：，其中，區域 如右圖所示

F（x,y）的幾何解釋

性質

設 是隨機變數 的分布函式，

（1） ；

（2）固定一個自變數的值時，作為一元函式關於另一個自變數是單調不減的；

（3）對任意固定一個y， ；對任意同固定一個x， ；

（4） ， ；

（5）固定一個自變數的值時， 作為一元函式關於另一個自變數至少有連續；

（6）對任意的 有：

。