弱收斂

弱收斂(weakly convergence)是一種收斂性，有點列的弱收斂、運算元列的弱收斂和泛函列的弱收斂三種情況。

基本介紹

• 中文名：弱收斂
• 外文名：weakly convergence
• 分類：點列、運算元列、泛函列的弱收斂
• 性質：強收斂一定弱收斂
• 領域：泛函分析
• 學科：數學

點列

點列的弱收斂

定義1 設X為賦范線性空間，x_n，x∈X，若對 有

則稱{x_n}弱收斂於x，記作w- .

註：設X為賦范線性空間，x_n，x∈X，當 時，稱{x_n}強收斂於x，記作s- .

性質

1.由點列強收斂可推出其弱收斂。

證明：由

可證。並且強極限存在時必等於其弱極限，反之卻不然。

2.設X為賦范線性空間，x_n，x∈X，則w- ，若且唯若

（1）

（2）存在X*上一個稠密集Y，使得

3.設X為一致凸的賦范線性空間，則X中的點列{x_n}強收斂於x₀的充要條件是{x_n}弱收斂於x₀，且有

運算元列

運算元列的弱收斂

定義2 設X、Y均為賦范線性空間，T_n∈B(X→Y)，若對 有

則稱{T_n}按弱運算元拓撲收斂於T，記作w- .

註：1.設X、Y均為賦范線性空間，T_n∈B(X→Y)，當 時，稱{T_n}一致收斂於T；

2.設X、Y均為賦范線性空間，T_n∈B(X→Y)，若對 有

則稱{T_n}按強運算元拓撲收斂於T，記作s- .

性質

一致收斂蘊含了強運算元拓撲收斂，強運算元拓撲收斂蘊含了弱運算元拓撲收斂。

泛函列

泛函列的弱收斂

定義3 設X為賦范線性空間，X*為其對偶空間，f_n，f ∈X*，若對 有

則稱{f_n}弱收斂於T.

註：1.設X為賦范線性空間，X*為其對偶空間，f_n，f ∈X*，當 時，稱{f_n}強收斂於f，記作s- ；

2.設X為賦范線性空間，X*為其對偶空間，f_n，f ∈X*，若對 有

則稱{f_n}弱*收斂於f，記作w*- .

性質

1. 當X為自反空間時，{f_n}弱收斂與{f_n}弱*收斂等價。
   
2. 設X為Banach空間，f_n，f ∈X*，則{f_n}弱*收斂於f，若且唯若
   

（1）

（2）存在X上的稠密集X₁，使得