《現代數學基礎:泛函分析中的反例》匯集了泛函分析中的大量反例，主要內容有度量空間、賦范線性空間、線性運算元、弱拓撲和弱*拓撲、向量值函式、不動點理論、Hilbert空間、線性運算元的譜。書中對Banach空間的同構理論、基、凸性和範數可微性方面的反例也做了介紹。《現代數學基礎:泛函分析中的反例》可供高等學校數學類各專業的本科生、研究生以及教師參考。
基本介紹
- 書名：現代數學基礎:泛函分析中的反例
- 出版社：高等教育出版社
- 頁數：329頁
- 開本：16
- 作者：汪林
- 出版日期：2014年1月1日
- 語種：簡體中文
- 品牌：高等教育出版社
- 類型：圖書>童書>科普/百科>數學
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《現代數學基礎:泛函分析中的反例》的取材，主要是從各種有關的書籍以及散見在各種數學雜誌上的反例中挑選出來的。閱讀《現代數學基礎:泛函分析中的反例》所需的預備知識，假定讀者已經掌握。因此，書中只準備了很少的說明。每一章都以引言開始，用來明確與《現代數學基礎:泛函分析中的反例》有關的泛函分析方面的記號、術語和定義，也陳述了一些有關的定理，這些定理或者是構造某些反例時要用到，或者是為了襯托某個反例。各章的引言中未介紹實分析方面的記號、術語、定義以及有關定理，有關這方面的內容，讀者可參看作者撰寫的《實分析中的反例》（高等教育出版社1989年出版）一書。此外，書中還提出了一系列尚待解決的問題，可供讀者進一步探討。
圖書目錄
第一章度量空間
0.引言
1.實直線R1上存在距離d和點列{xn}，{yn}□（R1，d），使limn→∞xn與limn→∞ym都存在，但limn→∞（xn+ym）≠limn→∞xn+limn→∞yn
2.存在R2的一個測度為零的度量子空間，它的某個稠密開集的邊界為不可數集
3.存在一個集上的兩個距離d1與d2，不存在距離d使d≤d1，d≤d2
4.存在兩個不相交的有界閉集，它們之間的距離等於零
5.存在一個完備度量空間中的緊集F1與閉集F2，使對任意x∈F1，y∈F2恆有d（x，y）>d（F1，F2）
6.C（0，1）上的兩種距離，使得按照一種距離的單位球的余集在另一種距離下的單位球內是稠密的
7.一個度量空間，其中存在開球，它是閉集但不是閉球；又存在閉球，它是開集但不是開球
8.存在度量空間，其中開球的閉包都是閉球，但它的某個子空間卻無此性質
9.存在某個度量空間的緊子空間E，使E中每個球都是連通的，但是開球的閉包未必是閉球
10.存在某個度量空間，在其中有半徑分別為r1與r2的閉球B1與B2，雖然r1>r2，卻有B1□B2
11.存在度量空間，在其中有集A，使{p：d（p，A）≤1）≠∪q∈AB（q，1），這裡B（q，1）={p：d（q，p）≤1}
12.存在完備度量空間，在其中一個漸縮的非空閉球列{Bn}，使∪∞n=1，Bn=□
13.存在某個集上的兩個距離，使得到的兩個度量空間一個完備而另一個不完備
14.任何子集都是既開又閉的完備度量空間
15.任何子集都是既開又閉的不完備的度量空間
16.內點都是孤立點的度量空間
17.同一個集X上的兩個距離d1與d2，使（X，d1）可分而（X，d2）不可分
18.無理數集上存在非離散的完備距離，使其成為完備的可分空間
19.有界而非全有界的集合
20.全有界而不列緊的集合
21.有界閉集並不都是列緊的度量空間
22.一個列緊集列，其並集並不列緊
23.存在某個度量空間中的列緊集，它與它的某個真子集等距
24.存在某個非緊度量空間，它不能與它的真子集等距
25.存在非緊的度量空間，在它上面的每個實值連續函式都是一致連續的
26.存在兩個度量空間X與Y，使X2與Y2等距而X與Y並不等距
27.一個不完備的度量空間，它同胚於它的完備化空間
28.存在兩個不同胚的度量空間，每一個都是另一個的一對一的連續像
29.某個度量空間中的子集A與B，雖然A與B的某個子集同胚，B與A的某個子集同胚，但A與B仍不同胚
30.R1中存在兩個同胚的子集A與B，而不存在R1到R1上的同胚映射f，使f（A）=B
31.把Cauchy點列映成非Cauchy點列的同胚映射
32.Cauchy點列的幾種弱形式之間的關係
33.把全有界集映成非全有界集的同胚映射
34.把列緊集映成非列緊集的同胚映射
35.把閉集映成非閉集的同胚映射
36.一個連續映射，它把某個有界閉集映成非閉集
37.一個開集的等距像，它不是開集
38.連續而不列緊的映射
39.映每個子集為列緊集的無處連續映射
40.存在由R2到R2的某個子集上的一對一的連續映射g，使對任意p∈R2都有d（p，g（p））=1，而g不是R2到該子集上的等距映射
41.一個完備的凸度量空間（X，d），使X到X的一切連續映射所成的度量空間F不是凸的，其中F上的距離為e（f，g）=supP∈d（f（p），g（p））
第二章賦范線性空間
0.引言
1.存在某個線性空間中的兩個線性子空間，其並不是線性子空間
2.存在某個線性空間的子集A，使A+A≠2A
3.存在某個線性空間中的非凸集A，適合A+A=2A
4.存在某個線性空間中的非凸集A和線性映射T，使T（A）是凸集
5.存在n維歐氏空間中不同胚的閉凸集
6.R2中的一個吸收集，它在複平面內並不吸收
7.R2中的一個均衡集，它在複平面內並不均衡
8.存在某個線性空間中的集，它的均衡包的凸包不等於它的凸包的均衡包
9.任給線性空間X，可在X上賦予範數而使之成為賦范線性空間
10.存在某個線性空間上的兩個不可比較的完備範數
11.存在某個線性空間上的強、弱兩個範數，使強範數完備而弱範數不完備
12.存在某個線性空間上的強、弱兩個範數，使弱範數完備而強範數不完備
13.不能賦予完備範數的線性空間
14.存在某個線性空間上的兩個完備範數，其和並不完備
15.存在某個線性空間上的兩個不完備範數，其和完備
16.一個Banach空間中的第一綱子空間，它本身並非第一綱空間
17.不完備的第二綱空間
18.一個不完備的賦范線性空間X及X的閉子空間M，使商空間X/M完備
19.存在某個賦范線性空間的子空間M及點x0，使x0到M的最近元不是唯一的
20.Riesz引理中的實數α（0<1）不能加強為α=1
21.屬於lp而不屬於lr（1≤r
22.屬於∩n∞=1l1+1/n而不屬於l的元素
23.屬於c0而不屬於∪n∞=1ln的元素
24.存在點列{xn）□lr使{xn}在lp（1≤r
25.存在某個線性空間上的兩個範數及點列{xn），使{xn}在這兩個範數下均收斂而極限不同
26.存在某個線性空間X上的兩個範數||·||與||·||1及子集A，使A在（X，||·||）與（X，||·||1）中都是緊的，而在（X，||·||+||·||1）中不緊
27.賦范線性空間上不連續的線性泛函
28.賦范線性空間中不閉的線性子空間
29.存在某個賦范線性空間中沒有內點的凸的均衡吸收集
30.存在某個賦范線性空間內稠密的凸的均衡吸收的真子集
31.存在某個賦范線性空間中的無處稠密的閉的凸均衡吸收集
32.存在某個賦范線性空間中的子集，它的線性閉包不等於它的閉包張成的線性子空間
33.存在某個賦范線性空間中的無限集，它的線性閉包不等於它的元素的無限線性組合所成的線性子空間
34.存在某個賦范線性空間中的兩個閉集，其和不是閉集
35.設A與B都是賦范線性空間中的閉凸集，C是有界集，則A+C=B+C蘊涵A=B，上述條件缺一不可
36.C（0，1）中的一個閉凸子集，它不含有最小範數的元素
37.L（0，1）中的一個閉凸子集，它含有無窮多個最小範數的元素
38.存在某個Banach空間X的子集A，使A的每個無限子集張成的線性子空間在X中稠密
39.不可分的Banach空間
40.一個可分Banach空間，其共軛空間不可分
41.存在不可分的Banach空間，它有可分的無窮維商空間
42.某個賦范線性空間X與，f∈X*，而不存在x∈X，使||x||=1且f（x）=||f||
43.l（或l∞）中存在兩個線性無關元x與y，適合||x—y||·||x+y||=|||x||2—||y||2|
44.存在賦范線性空間X及x，y∈X，使||x—y||≥1/2（||x||+||y||）||x/||x||—y/||y||||不成立
45.存在某個Banach空間中的閉凸集，它沒有端點
46.具有Krein—Milman性質的非自反Banach空間
47.存在某個Banach空間中的緊凸集，它不是其端點集的凸包
48.存在不自反的Banach空間，它的單位閉球的端點不可數
第三章運算元和泛函
0.引言
1.連續而無界的泛函
2.下半連續而不連續的泛函
3.存在某個復賦范線性空間上的可加連續運算元，它不滿足復齊性的條件
4.l∞上的一個有界線性泛函f，不能表成f（x）=∑n=1∞βnξn的形式，其中x={ξn}∈l∞，而{βn}為某個固定數列
5.存在某個賦范線性空間的子空間上的有界線性泛函，其保范擴張並不唯一
6.存在範數不等於1的射影運算元
7.Hahn—Banach定理不能推廣到一般的有界線性運算元
8.存在某個Banach空間上的非零連續線性泛函，它在單位閉球上取不到最大值
9.存在與某個Banach空間中的單位閉球相切而不相交的閉超平面
10.任給無窮維賦范線性空間上的非零連續線性泛函f，可構造一個可數有界閉集S，使f（S）不閉
11.存在不連續的雙線性泛函，它對各個變元分別連續
12.非仿射的等距映射
13.存在賦范線性空間（X，||·||X）與（Y，||·||y）及映射f，使||x1—x2||X=1蘊涵||f（x1）—f（x2）||y=1，但f不是等距映射
14.等距齊性而非線性的映射
15.不可換的連續線性運算元
16.存在某個賦范線性空間到其自身上的一對一的不連續的線性運算元
17.存在某個賦范線性空間到其自身上的不連續線性運算元f，使{x：f（x）=0}是閉集
18.一個有界線性運算元，其逆運算元無界
19.一個無界線性運算元，其逆運算元有界
20.存在某個非同胚的線性運算元，使T*是同胚的線性運算元
21.Barlach逆運算元定理不成立的賦范線性空間
22.存在兩個可逆矩陣，其積不可逆
23.一個具有逆矩陣的無窮矩陣，而它並不可逆
24.一個可逆矩陣，它卻不存在左逆矩陣
25.一個開映射，它的逆映射不連續
26.一個乘積空間中的閉集，其射影不是閉集
27.存在兩個閉映射，構成不閉的複合映射
28.存在閉映射y=f（x）與連續映射z=g（y），構成不閉的複合映射z=g（f（x））
29.存在閉線性運算元T與連續線性泛函f，構成不閉的線性泛函f〇T
30.兩個閉線性運算元的和與積不必是閉線性運算元
31.具有閉的值域的非閉線性運算元
32.把某個閉集映成非閉集的閉線性運算元
33.連續線性運算元與閉線性運算元互不蘊涵
34.存在某個連續的一對～的閉線性運算元，其逆運算元是閉的不連續運算元
35.閉圖像定理不成立的賦范線性空間
36.一個在第一綱賦范線性空間上定義而在另一個Banach空間上取值的閉線性運算元，使其也是連續運算元
37.開映射定理不成立的賦范線性空間
38.一個在Banach空間上定義而在另一個第一綱賦范線性空間上取值的閉線性運算元，使其也是開運算元
39.存在兩個閉線性運算元，其和沒有閉的擴張
40.線性運算元與其共軛運算元之間的關係
41.有界線性運算元與其擴張運算元之間的關係
第四章弱拓撲和弱*拓撲
0.引言
1.存在某個Banach空問上的有界線性泛函列{fn}，它弱*收斂於f，而它的任何有限線性組合所成的點列都不按範數收斂於f
2.存在某個無窮維賦范線性空間，其中點列的強、弱收斂性是等價的
3.弱*收斂而不弱收斂的泛函列
4.賦范線性空間中弱收斂而不強收斂的點列
5.存在點列{xn}□l2，使{xn}按坐標收斂而並不弱收斂
6.強收斂而不一致收斂的有界線性運算元列
7.弱收斂而不強收斂的有界線性運算元列
8.共鳴定理不成立的賦范線性空間
9.存在某個Banach空間X到另一賦范線性空間Y內的一個一致有界的線性運算元列{Tn}，使對X的某個稠密子集G的每一點x，{Tx}都收斂，但{Tn}並不強收斂於某個T∈L（X，Y）
10.弱序列完備而不弱完備的賦范線性空間
11.存在某個Banach空間，它並不弱序列完備
12.弱序列完備而不自反的Banach空間
13.存在無窮維線性空間X上的兩種不同的拓撲，在這兩種拓撲下，X上的連續線性泛函卻是相同的
14.存在無窮維線性空間X上的兩種不同的拓撲，在這兩種拓撲下，X中的有界集卻是相同的
15.共軛空間中弱*有界而不弱有界的集合
16.某個共軛空間中強閉而不弱*序列閉的子空間
17.某個賦范線性空間中強閉而不弱序列閉的子集
18.共軛空間中弱序列閉而不弱*序列閉的子集
19.存在某個賦范線性空間的子集，它的弱閉包與弱序列閉包並不相同
20.存在某個共軛空間中的子集，它的弱*閉包與弱*序列閉包並不相同
21.存在某個共軛空間中弱*序列連續而不弱*連續的線性泛函
22.某個共軛空間的子集，它的範數拓撲閉包與弱*拓撲閉包並不相同
23.L∞（R1）中存在一個弱*稠密的子空間F，使對任何r（0 24.一個不可分的Banach空間，其共軛空間弱*可分
25.弱*可分而不弱可分的共軛空間
26.弱*可分而不弱*序列可分的共軛空間
27.一個弱*可分的共軛空間，其中存在不弱*可分的閉子空間
28.某個共軛空間中弱*緊而不弱*序列緊的子集
29.某個共軛空間中的弱*序列緊集，它不是範數拓撲下的有界集
30.某個賦范線性空間中的弱序列緊而不強序列緊的集合
31.某個共軛空間中弱*序列緊而不弱序列緊的集合
32.賦范線性空間中弱序列完備而不弱序列緊的集合
33.存在緊集，它的閉凸包不是緊的
34.某個非自反的Banach空間X，使X*中點列的弱收斂與弱*收斂相一致
35.某個Banach空間X，使X*中點列的弱*收斂與弱收斂相一致，但X*中點集的弱*緊與弱緊並不一致
36.有界閉集都是緊的無窮維局部凸空間
第五章Banach空間中的基
0.引言
1.Banach空間中收斂而不絕對收斂的級數
2.賦范線性空間中絕對收斂而不收斂的級數
3.Banach空間中收斂而非無條件收斂的級數
4.某個Banach空間中弱無條件收斂而非無條件收斂的級數
5.某個Banach空間中無條件收斂而非絕對收斂的級數
6.賦范線性空間中Hamel基與Schauder基互不蘊涵
7.既是Hamel基又是Schauder基的無窮點列
8.一個有基的Banach空間，其共軛空間沒有基
9.沒有基的可分Banach空間
10.沒有逼近陛質的可分Banach空間
11.存在某個Banach空間，它有逼近性質而沒有有界逼近性質
12.存在某個Banach空間，它有有界逼近性質而沒有度量逼近性質
13.存在某個有基的Banach空間X，使X*可分，但X*沒有逼近性質
14.一個賦范線性空間中的基，它不是Schaudee基
15.某個賦范線性空間的弱Schauder基，它不是基
16.某個共軛空間X*的基，它在X中沒有雙直交列
17.一個雙直交點列{xn}與{fn}，使{xn}是基而{fn}不是基
18.某個Banach空間中的基序列，它的坐標泛函列不是基序列
19.某個Banach空間的稠密子空間的基，它不是整個空間的基
20.一個賦范線性空間中的基{xn}，它有子列{xnk}，使{xnk}不是基序列
21.存在點列{xn}，它是Banach空間（X，||·||X）與（T，||·||Y）的基，但不是（X∩Y，||·||=||·||X+||·||Y）的基
22.一個Banach空間的基{xn}，使基序列{x2k}等價於基{xn}，但{f2k}並不等價於{fn}，這裡，{fn}是{xn}的坐標泛函列
23.有弱*基而沒有基的共軛空間
24.存在某個Banach空間的共軛空間，它有弱*基而並不可分
25.某個Banach空間的共軛空間中的Schauder基，它不是弱*基
26.一個Banach空間的共軛空間中的弱*基，它不是弱*Schauder基
27.一個共軛空間中的弱*Schauder基，它不是Schauder基
28.一個Banach空問的共軛空間，它弱*可分而沒有弱*基
29.一個共軛空間X*中的點列，它既是X*的基，又是X*的弱*基，但它並不弱*收斂於0
30.一個有基的Banach空間，它沒有單調基
31.一個Banach空間的有界完全基，它的一個基序列卻不是有界完全的
32.一個雙直交列{xn}與{fn}，使{fn}是有界完全的基序列，而{xn}卻不是收縮的基序列
33.一個雙直交列{xn}與{fn}，使{fn}是收縮的基序列，而{xn}卻不是有界完全的基序列
34.一個Banach空間中的基，它不是正規基
35.一個Banach空間的非正規基{xn}，使坐標泛函列{fn}是span{fn}的正規基
36.一個Banach空間的Bessel基，它不是Hilbert基
37.一個Banach空間的Hilbert基，它不是Bessel基
38.一個Banach空間的基，它不是無條件基
39.有基而沒有無條件基的Banach空間
40.一個沒有無條件基的賦范線性空間，而能嵌入到具有無條件基的Banach空間
41.某個Banach空間的Schauder基，它弱收斂於0，但它沒有無條件的基序列
42.具有唯一無條件基的無窮維Banach空間
43.某個Banach空間的無條件基，它不是有界完全的
44.一個Banach空間的無條件基，它不是收縮的
45.某個Banach空間的無條件基，它不是絕對收斂基
46.某個Banach空間中的次對稱基，它不是對稱基
47.有基而沒有次對稱基的：Banach空間
48.一個有基的Banach空間X，其中存在有基的子空間G，使G中沒有一個基可以擴張成為X的基
49.一個Banach空間的分解，它不是Schauder分解
50.具有Schauder分解的不可分的Banach空間
……
第六章自反空間和弱緊生成空間
第七章Banach空間的凸性、光滑性及範數的可微性
第八章Banach空間的同構理論
第九章向量值函式
第十章度量線性空間
第十一章壓縮型映射與不動點
第十二章Hilbert空間
第十三章線性運算元的譜
第十四章緊運算元和Riesz運算元
第十五章正規運算元和亞正規運算元
參考文獻
名詞索引
0.引言
1.實直線R1上存在距離d和點列{xn}，{yn}□（R1，d），使limn→∞xn與limn→∞ym都存在，但limn→∞（xn+ym）≠limn→∞xn+limn→∞yn
2.存在R2的一個測度為零的度量子空間，它的某個稠密開集的邊界為不可數集
3.存在一個集上的兩個距離d1與d2，不存在距離d使d≤d1，d≤d2
4.存在兩個不相交的有界閉集，它們之間的距離等於零
5.存在一個完備度量空間中的緊集F1與閉集F2，使對任意x∈F1，y∈F2恆有d（x，y）>d（F1，F2）
6.C（0，1）上的兩種距離，使得按照一種距離的單位球的余集在另一種距離下的單位球內是稠密的
7.一個度量空間，其中存在開球，它是閉集但不是閉球；又存在閉球，它是開集但不是開球
8.存在度量空間，其中開球的閉包都是閉球，但它的某個子空間卻無此性質
9.存在某個度量空間的緊子空間E，使E中每個球都是連通的，但是開球的閉包未必是閉球
10.存在某個度量空間，在其中有半徑分別為r1與r2的閉球B1與B2，雖然r1>r2，卻有B1□B2
11.存在度量空間，在其中有集A，使{p：d（p，A）≤1）≠∪q∈AB（q，1），這裡B（q，1）={p：d（q，p）≤1}
12.存在完備度量空間，在其中一個漸縮的非空閉球列{Bn}，使∪∞n=1，Bn=□
13.存在某個集上的兩個距離，使得到的兩個度量空間一個完備而另一個不完備
14.任何子集都是既開又閉的完備度量空間
15.任何子集都是既開又閉的不完備的度量空間
16.內點都是孤立點的度量空間
17.同一個集X上的兩個距離d1與d2，使（X，d1）可分而（X，d2）不可分
18.無理數集上存在非離散的完備距離，使其成為完備的可分空間
19.有界而非全有界的集合
20.全有界而不列緊的集合
21.有界閉集並不都是列緊的度量空間
22.一個列緊集列，其並集並不列緊
23.存在某個度量空間中的列緊集，它與它的某個真子集等距
24.存在某個非緊度量空間，它不能與它的真子集等距
25.存在非緊的度量空間，在它上面的每個實值連續函式都是一致連續的
26.存在兩個度量空間X與Y，使X2與Y2等距而X與Y並不等距
27.一個不完備的度量空間，它同胚於它的完備化空間
28.存在兩個不同胚的度量空間，每一個都是另一個的一對一的連續像
29.某個度量空間中的子集A與B，雖然A與B的某個子集同胚，B與A的某個子集同胚，但A與B仍不同胚
30.R1中存在兩個同胚的子集A與B，而不存在R1到R1上的同胚映射f，使f（A）=B
31.把Cauchy點列映成非Cauchy點列的同胚映射
32.Cauchy點列的幾種弱形式之間的關係
33.把全有界集映成非全有界集的同胚映射
34.把列緊集映成非列緊集的同胚映射
35.把閉集映成非閉集的同胚映射
36.一個連續映射，它把某個有界閉集映成非閉集
37.一個開集的等距像，它不是開集
38.連續而不列緊的映射
39.映每個子集為列緊集的無處連續映射
40.存在由R2到R2的某個子集上的一對一的連續映射g，使對任意p∈R2都有d（p，g（p））=1，而g不是R2到該子集上的等距映射
41.一個完備的凸度量空間（X，d），使X到X的一切連續映射所成的度量空間F不是凸的，其中F上的距離為e（f，g）=supP∈d（f（p），g（p））
第二章賦范線性空間
0.引言
1.存在某個線性空間中的兩個線性子空間，其並不是線性子空間
2.存在某個線性空間的子集A，使A+A≠2A
3.存在某個線性空間中的非凸集A，適合A+A=2A
4.存在某個線性空間中的非凸集A和線性映射T，使T（A）是凸集
5.存在n維歐氏空間中不同胚的閉凸集
6.R2中的一個吸收集，它在複平面內並不吸收
7.R2中的一個均衡集，它在複平面內並不均衡
8.存在某個線性空間中的集，它的均衡包的凸包不等於它的凸包的均衡包
9.任給線性空間X，可在X上賦予範數而使之成為賦范線性空間
10.存在某個線性空間上的兩個不可比較的完備範數
11.存在某個線性空間上的強、弱兩個範數，使強範數完備而弱範數不完備
12.存在某個線性空間上的強、弱兩個範數，使弱範數完備而強範數不完備
13.不能賦予完備範數的線性空間
14.存在某個線性空間上的兩個完備範數，其和並不完備
15.存在某個線性空間上的兩個不完備範數，其和完備
16.一個Banach空間中的第一綱子空間，它本身並非第一綱空間
17.不完備的第二綱空間
18.一個不完備的賦范線性空間X及X的閉子空間M，使商空間X/M完備
19.存在某個賦范線性空間的子空間M及點x0，使x0到M的最近元不是唯一的
20.Riesz引理中的實數α（0<1）不能加強為α=1
21.屬於lp而不屬於lr（1≤r
22.屬於∩n∞=1l1+1/n而不屬於l的元素
23.屬於c0而不屬於∪n∞=1ln的元素
24.存在點列{xn）□lr使{xn}在lp（1≤r
25.存在某個線性空間上的兩個範數及點列{xn），使{xn}在這兩個範數下均收斂而極限不同
26.存在某個線性空間X上的兩個範數||·||與||·||1及子集A，使A在（X，||·||）與（X，||·||1）中都是緊的，而在（X，||·||+||·||1）中不緊
27.賦范線性空間上不連續的線性泛函
28.賦范線性空間中不閉的線性子空間
29.存在某個賦范線性空間中沒有內點的凸的均衡吸收集
30.存在某個賦范線性空間內稠密的凸的均衡吸收的真子集
31.存在某個賦范線性空間中的無處稠密的閉的凸均衡吸收集
32.存在某個賦范線性空間中的子集，它的線性閉包不等於它的閉包張成的線性子空間
33.存在某個賦范線性空間中的無限集，它的線性閉包不等於它的元素的無限線性組合所成的線性子空間
34.存在某個賦范線性空間中的兩個閉集，其和不是閉集
35.設A與B都是賦范線性空間中的閉凸集，C是有界集，則A+C=B+C蘊涵A=B，上述條件缺一不可
36.C（0，1）中的一個閉凸子集，它不含有最小範數的元素
37.L（0，1）中的一個閉凸子集，它含有無窮多個最小範數的元素
38.存在某個Banach空間X的子集A，使A的每個無限子集張成的線性子空間在X中稠密
39.不可分的Banach空間
40.一個可分Banach空間，其共軛空間不可分
41.存在不可分的Banach空間，它有可分的無窮維商空間
42.某個賦范線性空間X與，f∈X*，而不存在x∈X，使||x||=1且f（x）=||f||
43.l（或l∞）中存在兩個線性無關元x與y，適合||x—y||·||x+y||=|||x||2—||y||2|
44.存在賦范線性空間X及x，y∈X，使||x—y||≥1/2（||x||+||y||）||x/||x||—y/||y||||不成立
45.存在某個Banach空間中的閉凸集，它沒有端點
46.具有Krein—Milman性質的非自反Banach空間
47.存在某個Banach空間中的緊凸集，它不是其端點集的凸包
48.存在不自反的Banach空間，它的單位閉球的端點不可數
第三章運算元和泛函
0.引言
1.連續而無界的泛函
2.下半連續而不連續的泛函
3.存在某個復賦范線性空間上的可加連續運算元，它不滿足復齊性的條件
4.l∞上的一個有界線性泛函f，不能表成f（x）=∑n=1∞βnξn的形式，其中x={ξn}∈l∞，而{βn}為某個固定數列
5.存在某個賦范線性空間的子空間上的有界線性泛函，其保范擴張並不唯一
6.存在範數不等於1的射影運算元
7.Hahn—Banach定理不能推廣到一般的有界線性運算元
8.存在某個Banach空間上的非零連續線性泛函，它在單位閉球上取不到最大值
9.存在與某個Banach空間中的單位閉球相切而不相交的閉超平面
10.任給無窮維賦范線性空間上的非零連續線性泛函f，可構造一個可數有界閉集S，使f（S）不閉
11.存在不連續的雙線性泛函，它對各個變元分別連續
12.非仿射的等距映射
13.存在賦范線性空間（X，||·||X）與（Y，||·||y）及映射f，使||x1—x2||X=1蘊涵||f（x1）—f（x2）||y=1，但f不是等距映射
14.等距齊性而非線性的映射
15.不可換的連續線性運算元
16.存在某個賦范線性空間到其自身上的一對一的不連續的線性運算元
17.存在某個賦范線性空間到其自身上的不連續線性運算元f，使{x：f（x）=0}是閉集
18.一個有界線性運算元，其逆運算元無界
19.一個無界線性運算元，其逆運算元有界
20.存在某個非同胚的線性運算元，使T*是同胚的線性運算元
21.Barlach逆運算元定理不成立的賦范線性空間
22.存在兩個可逆矩陣，其積不可逆
23.一個具有逆矩陣的無窮矩陣，而它並不可逆
24.一個可逆矩陣，它卻不存在左逆矩陣
25.一個開映射，它的逆映射不連續
26.一個乘積空間中的閉集，其射影不是閉集
27.存在兩個閉映射，構成不閉的複合映射
28.存在閉映射y=f（x）與連續映射z=g（y），構成不閉的複合映射z=g（f（x））
29.存在閉線性運算元T與連續線性泛函f，構成不閉的線性泛函f〇T
30.兩個閉線性運算元的和與積不必是閉線性運算元
31.具有閉的值域的非閉線性運算元
32.把某個閉集映成非閉集的閉線性運算元
33.連續線性運算元與閉線性運算元互不蘊涵
34.存在某個連續的一對～的閉線性運算元，其逆運算元是閉的不連續運算元
35.閉圖像定理不成立的賦范線性空間
36.一個在第一綱賦范線性空間上定義而在另一個Banach空間上取值的閉線性運算元，使其也是連續運算元
37.開映射定理不成立的賦范線性空間
38.一個在Banach空間上定義而在另一個第一綱賦范線性空間上取值的閉線性運算元，使其也是開運算元
39.存在兩個閉線性運算元，其和沒有閉的擴張
40.線性運算元與其共軛運算元之間的關係
41.有界線性運算元與其擴張運算元之間的關係
第四章弱拓撲和弱*拓撲
0.引言
1.存在某個Banach空問上的有界線性泛函列{fn}，它弱*收斂於f，而它的任何有限線性組合所成的點列都不按範數收斂於f
2.存在某個無窮維賦范線性空間，其中點列的強、弱收斂性是等價的
3.弱*收斂而不弱收斂的泛函列
4.賦范線性空間中弱收斂而不強收斂的點列
5.存在點列{xn}□l2，使{xn}按坐標收斂而並不弱收斂
6.強收斂而不一致收斂的有界線性運算元列
7.弱收斂而不強收斂的有界線性運算元列
8.共鳴定理不成立的賦范線性空間
9.存在某個Banach空間X到另一賦范線性空間Y內的一個一致有界的線性運算元列{Tn}，使對X的某個稠密子集G的每一點x，{Tx}都收斂，但{Tn}並不強收斂於某個T∈L（X，Y）
10.弱序列完備而不弱完備的賦范線性空間
11.存在某個Banach空間，它並不弱序列完備
12.弱序列完備而不自反的Banach空間
13.存在無窮維線性空間X上的兩種不同的拓撲，在這兩種拓撲下，X上的連續線性泛函卻是相同的
14.存在無窮維線性空間X上的兩種不同的拓撲，在這兩種拓撲下，X中的有界集卻是相同的
15.共軛空間中弱*有界而不弱有界的集合
16.某個共軛空間中強閉而不弱*序列閉的子空間
17.某個賦范線性空間中強閉而不弱序列閉的子集
18.共軛空間中弱序列閉而不弱*序列閉的子集
19.存在某個賦范線性空間的子集，它的弱閉包與弱序列閉包並不相同
20.存在某個共軛空間中的子集，它的弱*閉包與弱*序列閉包並不相同
21.存在某個共軛空間中弱*序列連續而不弱*連續的線性泛函
22.某個共軛空間的子集，它的範數拓撲閉包與弱*拓撲閉包並不相同
23.L∞（R1）中存在一個弱*稠密的子空間F，使對任何r（0 24.一個不可分的Banach空間，其共軛空間弱*可分
25.弱*可分而不弱可分的共軛空間
26.弱*可分而不弱*序列可分的共軛空間
27.一個弱*可分的共軛空間，其中存在不弱*可分的閉子空間
28.某個共軛空間中弱*緊而不弱*序列緊的子集
29.某個共軛空間中的弱*序列緊集，它不是範數拓撲下的有界集
30.某個賦范線性空間中的弱序列緊而不強序列緊的集合
31.某個共軛空間中弱*序列緊而不弱序列緊的集合
32.賦范線性空間中弱序列完備而不弱序列緊的集合
33.存在緊集，它的閉凸包不是緊的
34.某個非自反的Banach空間X，使X*中點列的弱收斂與弱*收斂相一致
35.某個Banach空間X，使X*中點列的弱*收斂與弱收斂相一致，但X*中點集的弱*緊與弱緊並不一致
36.有界閉集都是緊的無窮維局部凸空間
第五章Banach空間中的基
0.引言
1.Banach空間中收斂而不絕對收斂的級數
2.賦范線性空間中絕對收斂而不收斂的級數
3.Banach空間中收斂而非無條件收斂的級數
4.某個Banach空間中弱無條件收斂而非無條件收斂的級數
5.某個Banach空間中無條件收斂而非絕對收斂的級數
6.賦范線性空間中Hamel基與Schauder基互不蘊涵
7.既是Hamel基又是Schauder基的無窮點列
8.一個有基的Banach空間，其共軛空間沒有基
9.沒有基的可分Banach空間
10.沒有逼近陛質的可分Banach空間
11.存在某個Banach空間，它有逼近性質而沒有有界逼近性質
12.存在某個Banach空間，它有有界逼近性質而沒有度量逼近性質
13.存在某個有基的Banach空間X，使X*可分，但X*沒有逼近性質
14.一個賦范線性空間中的基，它不是Schaudee基
15.某個賦范線性空間的弱Schauder基，它不是基
16.某個共軛空間X*的基，它在X中沒有雙直交列
17.一個雙直交點列{xn}與{fn}，使{xn}是基而{fn}不是基
18.某個Banach空間中的基序列，它的坐標泛函列不是基序列
19.某個Banach空間的稠密子空間的基，它不是整個空間的基
20.一個賦范線性空間中的基{xn}，它有子列{xnk}，使{xnk}不是基序列
21.存在點列{xn}，它是Banach空間（X，||·||X）與（T，||·||Y）的基，但不是（X∩Y，||·||=||·||X+||·||Y）的基
22.一個Banach空間的基{xn}，使基序列{x2k}等價於基{xn}，但{f2k}並不等價於{fn}，這裡，{fn}是{xn}的坐標泛函列
23.有弱*基而沒有基的共軛空間
24.存在某個Banach空間的共軛空間，它有弱*基而並不可分
25.某個Banach空間的共軛空間中的Schauder基，它不是弱*基
26.一個Banach空間的共軛空間中的弱*基，它不是弱*Schauder基
27.一個共軛空間中的弱*Schauder基，它不是Schauder基
28.一個Banach空問的共軛空間，它弱*可分而沒有弱*基
29.一個共軛空間X*中的點列，它既是X*的基，又是X*的弱*基，但它並不弱*收斂於0
30.一個有基的Banach空間，它沒有單調基
31.一個Banach空間的有界完全基，它的一個基序列卻不是有界完全的
32.一個雙直交列{xn}與{fn}，使{fn}是有界完全的基序列，而{xn}卻不是收縮的基序列
33.一個雙直交列{xn}與{fn}，使{fn}是收縮的基序列，而{xn}卻不是有界完全的基序列
34.一個Banach空間中的基，它不是正規基
35.一個Banach空間的非正規基{xn}，使坐標泛函列{fn}是span{fn}的正規基
36.一個Banach空間的Bessel基，它不是Hilbert基
37.一個Banach空間的Hilbert基，它不是Bessel基
38.一個Banach空間的基，它不是無條件基
39.有基而沒有無條件基的Banach空間
40.一個沒有無條件基的賦范線性空間，而能嵌入到具有無條件基的Banach空間
41.某個Banach空間的Schauder基，它弱收斂於0，但它沒有無條件的基序列
42.具有唯一無條件基的無窮維Banach空間
43.某個Banach空間的無條件基，它不是有界完全的
44.一個Banach空間的無條件基，它不是收縮的
45.某個Banach空間的無條件基，它不是絕對收斂基
46.某個Banach空間中的次對稱基，它不是對稱基
47.有基而沒有次對稱基的：Banach空間
48.一個有基的Banach空間X，其中存在有基的子空間G，使G中沒有一個基可以擴張成為X的基
49.一個Banach空間的分解，它不是Schauder分解
50.具有Schauder分解的不可分的Banach空間
……
第六章自反空間和弱緊生成空間
第七章Banach空間的凸性、光滑性及範數的可微性
第八章Banach空間的同構理論
第九章向量值函式
第十章度量線性空間
第十一章壓縮型映射與不動點
第十二章Hilbert空間
第十三章線性運算元的譜
第十四章緊運算元和Riesz運算元
第十五章正規運算元和亞正規運算元
參考文獻
名詞索引
