特徵函式連續性定理

特徵函式連續性定理(continuous theorem ofcharacteristic functions)機率論的重要定理之一它使特徵函式成為研究一些極限定理的重要工具.

定義

連續性定理如下：分布函式列F₁(x)、F₂(x)，…弱收斂於某分布函式F(x)的充分和必要條件是，相應的特徵函式列φ₁(t)，φ₂(t)二收斂於某連續函式φ(t)。這時，φ(t)就是分布函式F(x)的特徵函式，而且φ_n(t)向φ(t)的收斂關於t在每個有窮區間上一致.

發現原理

連續性定理也可分述為正極限定理與逆極限定理，正極限定理:若分布函式列F₁(x),F₂(x),…弱收斂於某一分布函式F (x)，則相應的特徵函式列f₁(t) , f₂(t) …收斂於相應的特徵函式f(t)，且在t的任一有限區間內收斂是一致的。逆極限定理：設特徵函式列f₁(t),f₂(t)…收斂於某一函式f(t)，且f(t)連續(或在t=0點連續)，則相應的分布函式列F₁(x),F₂(x)…弱收斂於某一分布函式F(x)，而且f(t)是F(x)的特徵函式。正逆極限定理合稱連續性定理，該定理最先由法國數學家、工程師萊維( Levy, P.)及瑞典學者克拉默(Cramer, H.)證得，因此又稱萊維一克拉默定理.

發現者

萊維( Levy, P.)

法國數學家。現代機率論開拓者之一，他在巴黎出生，是Ecole理工學院考官的兒子。利維還出席並發表Ecole理工學院於1905年在19歲就發表第一篇論文，同時還是一個大學生。他的老師和顧問為雅克阿達馬。畢業以後，他服了一年的兵役，然後在3年就讀於高等礦業，在那裡他於1913年成為教授。

克拉默爾(Cramer, H.)

瑞典數學家·1893年9月25日生於瑞典斯德哥爾摩；1985年10月5日卒於斯德哥爾摩。克拉默爾對現代機率、數理統計作出了貢獻。