基本介紹
- 中文名:強大數定律
- 外文名:Strong Law of Large Numbers
- 提出者:波萊爾
- 提出時間:1909年
- 套用學科:數學
- 適用領域範圍:機率論
基本介紹,弱大數定律和強大數定律的區別,幾種常見的強大數定律,波萊爾強大數定律,柯爾莫哥洛夫定理,
基本介紹
定理1 [強大數定律] 設
為一獨立同分布的隨機變數序列,其公共均值
有限.則下式以機率1成立:
![](/img/9/202/f29c5d128ae8a19ae172b367e230.jpg)
![](/img/4/3c9/29199cd91e65e6eb1df66c9ede57.jpg)
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![](/img/4/f6e/fa4fa2a5c3e1fc042bcb89946285.jpg)
作為強大數定律的一個套用,設有一獨立重複試驗序列,令E為某一事件.P(E)為事件E發生的機率,又令
![強大數定律 強大數定律](/img/3/92e/nBnauEjZ2UDZzUWO3MmYzY2YidzYkJjNkVTM2U2MmdzNxkzY2gzNhhzYwQ2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
根據強大數定律,以機率1有
![](/img/9/9ee/c79209955f81e6b093d081e148c0.jpg)
![](/img/6/6da/2448e6f584e9bf0d7c9fb776a596.jpg)
可用圖1來說明強大數定律。圖1顯示了從一個[0,1]值域內的均勻分布分別提取1,2,3,…,500個可隨機變數值,計算得到的樣本均值。該隨機分布的期望值是0.5,隨著樣本數的增加,樣本均值收斂於期望值。
![圖1強大數定律* 圖1強大數定律*](/img/7/351/nBnauczN2QTZxcTYihjM4EmZ4MDNkVDMmVWM1gDZ5ETYwADOxgzY2YmYkN2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
弱大數定律和強大數定律的區別
弱大數定律表明對於足夠大的值n*,隨機變數
的值靠近
,但它不能保證對於所有的
,
仍停留在
附近,因此,
可以無限多次離開0(儘管出現較大偏離的頻率不會很高)。而強大數定律能保證這種情況不會發生,特別地,強大數定律表明下式以機率1成立:對任何
,
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![](/img/6/dc6/9f934a4d65d98fa6f21681ae6059.jpg)
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![](/img/f/2f0/bac394a00140e67139df28ab4cb9.jpg)
![](/img/a/443/663847c085a594d06272d849a2da.jpg)
幾種常見的強大數定律
波萊爾強大數定律
定理2(波萊爾強大數定律) 設
相互獨立同分布,且
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![](/img/2/bcc/e2dca276badfc05637d3c5f099ce.jpg)
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在此定理中,若令
表示貝努利試驗中與第k次試驗相聯繫的隨機變數、則定理說明,
成立的機率為1。也就是說(
)這一事件的機率為0(當然還不能說
必然趨於p),從而我們進一步得到了頻率“穩定於”機率這一事實,它比貝努利大數定律有更強的結果。
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柯爾莫哥洛夫定理
定理3(柯爾莫哥洛夫判別法)設
為一相互獨立的隨機變數序列,若
![](/img/c/f3b/b2e5ba2b8a5a3180f9a982ac618b.jpg)
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![](/img/5/8c5/b1187e8a3d11a4cdbe509c55a664.jpg)
定理4(柯爾莫哥洛夫定理) 設
為相互獨立同分布的隨機序列,若
,則
服從強大數定律。
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![](/img/b/1aa/a107884b2d3c4ee9b67e9d88ca6b.jpg)
![](/img/2/34f/ec58c6f5e1f2f8005427351909cc.jpg)
定理5 若
,則必有
。
![](/img/f/00c/62f5b97157b2eb6cb1721a1865fb.jpg)
![](/img/b/076/9cffb48459a9d75f2658e2424ebe.jpg)