單調收斂定理

設0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一單調非負隨機變數列。那么，若Xn(處處)收斂於隨機變數X，則相應的數學期望列EX1，EX2，…，EXn，…收斂於X的數學期望EX，這種現象稱為單調收斂定理。

基本介紹

• 中文名：單調收斂定理
• 外文名：Monotone convergence theorem
• 類別：數學
• 推廣：勒貝格單調收斂定理
• 收斂：有限有界的
• 套用：高等函式求極限

單調實數序列的收斂性

定理

如果a_k是一個單調的實數序列（例如a_k≤a_k+1），則這個序列具有極限（如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話）。這個極限是有限的，若且唯若序列是有界的。

證明

我們證明如果遞增序列{a_n}有上界，則它是收斂的，且它的極限為 。

由於{a_n}非空且有上界，因此根據實數的最小上界公理，c= 存在，且是有限的。現在，對於每一個 ，都存在一個a_N，使得a_N>c- ，否則c- 是{a_n}的一個上界，這與c為最小上界 的事實矛盾。於是，由於{a_n}是遞增的，對於所有的n > N，都有 ，因此根據定義，{a_n}的極限為 。證畢。

類似地，如果一個實數序列是遞減且有下界，則它的最大下界就是它的極限。

單調級數的收斂性定理

如果對於所有的自然數j和k，a_j,k都是非負實數，且a_j,k≤a_j+1,k，則

勒貝格單調收斂定理

這個定理是前一個定理的推廣，也許就是最重要的單調收斂定理。

定理

設( X,，A， )為一個測度空間。設f₁，f_2......為 -可測的[0, ]值單調遞增函式。也就是說： 。接著，設序列的逐點極限為f。也就是說： ，那么，f是 -可測的，且： 。

證明

我們首先證明f是 -可測函式。為此，只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為[0， )的一個子區間。那么： ，另一方面，由於[0,t]是閉區間，因此： 等價於 ，所以： 。注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素，這是因為它是一個波萊爾子集在 -可測函式 下的原像。由於根據定義，σ代數在可數交集下封閉，因此這便證明了f是 -可測的。需要注意的是，一般來說，任何可測函式的最小上界也是可測的。

現在我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是 -可測的事實，意味著表達式 是定義良好的。

我們從證明 開始。

根據勒貝格積分的定義，其中SF是X上的-可測簡單函式的交集。由於在每一個，都有，我們便有：包含於，因此，由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界，我們便有：，右面的極限存在，因為序列是單調的。

我們現在證明另一個方向的不等式（也可從法圖引理推出），也就是說，我們來證明：從積分的定義可以推出，存在一個非負簡單函式的非遞增序列g_n，它幾乎處處逐點收斂於f，且：

只需證明對於每一個，都有：

，這是因為如果這對每一個k都成立，那么等式左端的極限也將小於或等於等式右端。

我們證明如果g_k是簡單函式，且幾乎處處，則：

由於積分是線性的，我們可以把函式分拆成它的常數部分，化為是σ代數A的一個元素B的指示函式的情況。在這種情況下，我們假設是一個可測函式的序列，它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。為了證明這個結果，固定，並定義可測集合的序列：根據積分的單調性，可以推出對於任何的，都有根據的假設，對於足夠大的n，任何B內的x都將位於內，因此：，所以，我們有：利用測度的單調性，可得，取，並利用這對任何正數都正確的事實，定理便得證。