引理

引理是為證明某個定理或解某個問題所要用到的命題。

引理和定理沒有嚴格的區分，如果論證某個命題時，還沒有直接根據，需要某些還沒有被證明的結論，把它提出來加以證明，就是所謂的構造引理。

基本介紹

• 中文名：引理
• 外文名：lemma
• 相關概念：引理構造法
• 引理舉例：法圖引理、高斯引理、中山引理等

基本概念

引理（lemma）是數學中為了取得某個更好的結論而作為步驟被證明的命題，其意義並不在於自身被證明，而在於為達成最終目的作出貢獻。

一個引理可用於證明多個結論。數學中存在很多著名的引理，這些引理可能對很多問題的解決有幫助。例如歐幾里得引理，烏雷松引理，德恩引理，法圖引理，高斯引理，中山引理，龐加萊引理，里斯引理和佐恩引理等。

構造引理法

概念

什麼叫引理?引理就是在解決某些問題的過程中需要套用一些沒有被證明的結論。把它提出來以後必須加以證明，是正確的才能引用。而通過構造引理使問題得以解決的構造命題的方法叫作構造引理法。

實例說明

求函式 的單調區間。

解：這是一個複合函式，設 ，由 ，

解得 的定義域為 或 。

先構造兩個引理：

引理1：已知函式 ，若 在區間(a，b)上是增函式，其值域(c，d)，又函式 在(c，d)上也是增函式，那么複合函式 在(a，b)上是增函式。

證明：在(a，b)上任取 ， ，使a< < <b，

在(a，b)上是增函式，

記 ，即 ,且

又 函式 在區間(c，d)上是增函式，

，即 ，

故函式 在(a，b)上是增函式．

類似地可以證明如下引理：

引理2：已知函式 ，若 在區間(a，b)上是減函式，其值域為(c，d)，又函式 在區間(c，d)上是增函式，那么，複合函式 在區間(c，d)上是減函式。

由兩個引理可知：

當x∈(3，+∞)時， 為增函式， 也為增函式，所以(3，+∞)是 的單調增區間；

當x∈(-∞，1)時， 為減函式，而 為增函式，所以(一∞，1)是 的單調減區間。

註：設內層函式 ，外層函式，複合函式，複合函式的單調性有四個引理，結論列表如下：

函式	單調狀況
內層函式	增	增	減	減
外層函式	增	減	增	減
複合函式	增	減	減	增