高斯引理

兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。

基本介紹

• 中文名：高斯引理
• 提出者：高斯
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：代數學

高斯引理(Gauss lemma )多項式理論的主要命題之一即任意兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式。由高斯引理可知，任一非零的整係數多項式如果能夠分解為兩個次數較低的有理係數多項式的乘積，則它一定能夠分解為兩個次數較低的整係數多項式的乘積.高斯引理在研究有理係數多項式的因式分解與有理根中起著重要的作用。高斯(Gauss , C. F.)引人了本原多項式的概念，並且給出了這個引理。

引理

兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。

證明

設，是兩個本原多項式，而是它們的乘積。我們用反證法。如果不是本原的，也就是說，的係數有一異於的公因子，那么就有一個素數能整除的每一個係數。因為是本原的，所以不能同時整除的每一個係數。令是第一個不能被整除的係數，同樣地，也是本原的，令是第一個不能被整除的係數。我們來看的係數,由乘積定義。由上面的假設，整除等式左端的，整除右端以外的每一項，但是不能整除這是不可能的。這就證明了，一定也是本原多項式。

例子

例：，

均是本原多項式，其乘積還是本原多項式。