高斯定理

高斯定理（Gauss' law）也稱為高斯通量理論（Gauss' flux theorem），或稱作散度定理、高斯散度定理、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式、奧氏定理或高－奧公式（通常情況的高斯定理都是指該定理，也有其它同名定理）。

在靜電學中，表明在閉合曲面內的電荷之和與產生的電場在該閉合曲面上的電通量積分之間的關係。高斯定律（Gauss' law）表明在閉合曲面內的電荷分布與產生的電場之間的關係。高斯定律在靜電場情況下類比於套用在磁場學的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中。因為數學上的相似性，高斯定律也可以套用於其它由平方反比律決定的物理量，例如引力或者輻照度。

基本介紹

• 中文名：高斯定理
• 外文名：Gauss' law
• 分類：數學
• 提出：高斯
• 適用於：數學 物理

定理內容

設空間有界閉合區域 ，其邊界 為分片光滑閉曲面。函式 及其一階偏導數在 上連續，那么：

或記作：

其中 的正側為外側， 為 的外法向量的方向餘弦。

高斯投影

即矢量穿過任意閉合曲面的通量等於矢量的散度對閉合面所包圍的體積的積分。它給出了閉曲面積分和相應體積分的積分變換關係，是矢量分析中的重要恆等式，也是研究場的重要公式之一。

物理套用

矢量分析

高斯定理是矢量分析的重要定理之一。它可以被表述為：

這式子與坐標系的選取無關。

式中

稱向量場 的散度(divergence)。

靜電學

定理指出：穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比：

換一種說法：電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

（當所涉體積內電荷連續分布時，上式右端的求和應變為積分。）

它表示，電場強度對任意封閉曲面的通量只取決於該封閉曲面內電荷的代數和，與曲面內電荷的位置分布情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。當存在介質時,Σq應理解為包圍在封閉曲面內的自由電荷和極化電荷的總和。

高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。

高斯定理是從庫侖定律直接導出的，它完全依賴於電荷間作用力的平方反比律。把高斯定理套用於處在靜電平衡條件下的金屬導體，就得到導體內部無淨電荷的結論，因而測定導體內部是否有淨電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。

當空間中存在電介質時，上式亦可以記作

式中 為曲面內自由電荷總量。

它說明電位移對任意封閉曲面的通量只取決於曲面內自由電荷的代數和 ，與自由電荷的分布情況無關，與極化電荷亦無關。電位移對任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。對於各向同性的線性的電介質，如果整個封閉曲面S在一均勻的相對介電常數為 的線性介質中，則電位移與電場強度成正比， ，式中 稱為介質的相對介電常數，這是一個無量綱的量。

更常遇到的是逆反問題。給定區域中電荷分布，所求量為在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，但這信息還不足以確定曲面上各點處的電場分布，在閉合曲面任意位置的電場可能會很複雜。僅有在體系具有較強對稱性的情況下，如均勻帶電球的電場、無限大均勻帶電面的電場以及無限長均勻帶電圓柱的電場，使用高斯定理才會比使用疊加原理更簡便。

磁場

磁場的高斯定理指出，無論對於穩恆磁場還是時變磁場，總有：

由於磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對於一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規律類似於電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

靜電場與磁場

兩者有著本質上的區別。在靜電場中，由於自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內有淨餘的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等於零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由於自然界中沒有磁單極子存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等於零。

高斯定理延伸

高斯定理2

(代數學基本定理)

定理：凡有理整方程 至少有一個根。

推論：一元n次方程

有且只有n個根（包括虛根和重根）。

高斯定理3

(數論)

正整數n可被表示為兩整數平方和的充要條件為n的一切形如4k+3形狀的質因子的冪次均為偶數。