高斯定律

高斯定律（Gauss' law）：在靜電場中，穿過任一封閉曲面的電場強度通量只與封閉曲面內的電荷的代數和有關，且等於封閉曲面的電荷的代數和除以真空中的電容率。

表明在閉合曲面內的電荷分布與產生的電場之間的關係。靜電場中通過任意閉合曲面（稱高斯面）S 的電通量等於該閉合面內全部電荷的代數和除以真空中的電容率，與面外的電荷無關。

基本介紹

• 中文名：高斯定律
• 外文名：Gauss's law
• 定義：物理定律
• 套用：物理機械類

定義

通過任意閉合曲面的電通量等於該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數和除以真空中的電容率。

積分形式

真空中高斯定律積分形式為：

物理定律

由於磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對於一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規律類似於電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有著本質上的區別。在靜電場中，由於自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內有淨餘的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等於零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由於自然界中沒有單獨的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等於零。

特別要強調兩點： 電場線的方向和電場線的疏密的規定， 電場線上每一點的切線方向就是該點電場的方向，電場線在某處的疏密要反映電場強度的大小，即在電場中通過某一點的電場線的數密度等於該點
電場強度的大小， 即： E= dN/ds，其中ds是在電場中的某一點取一個通過該點的且與電場線垂直的微分面，dN就是穿過該面ds的電場線的根數。

高斯定理源於庫侖定律,依賴於場強疊加原理,只有當電場線密度等於場強大小時場線通量才能與場強通量等同,並統一遵從高斯定理。高斯面上的實際場強是其內外所有電荷產生的場強疊加而成的合場強。但利用高斯面所求得的場強則僅僅是分析高斯面上場強分布時所涉及的電荷在高斯面上產生的合場強,而不包含未涉及的電荷所產生的場強。

定理套用

求解電場強度E可用庫侖定律,也可用高斯定理。利用庫侖定律連同場強疊加原理對點電荷、點電荷系的場強一般都可求解;對連續分布帶電體系的場強原則上也可求解,但對具體問題必須知道電荷的連續分布函式才能求解。利用高斯定理求解場強有一定局限性,一般只能對具有某種對稱性分布的場強可求解。利用高斯定理求解場強必須遵從兩個步驟:其一,必須對所涉及的帶電體系產生的場強進行定性分析,明確場強方向和大小的分布規律;其二,依據場強分布規律,判斷能否用高斯定理求解,能則構建適當的高斯面進行求解。構建高斯面必須滿足兩個條件:其一,所求場強之點必須在高斯面上;其二,高斯面上各點或某部分各點場強大小相等。在此基礎上,高斯面的形狀大小原則上可任意選取,使待求場強E都可移到高斯定理的積分號外而求出所涉及的帶電體系在待求點產生的場強。當然,在求解具體問題時應選擇使求解最簡便的高斯面。

構建體系高斯面解題

為敘述方便,把包圍整個帶電體系的高斯面稱為體系高斯面。例如,求解無限長均勻帶電細直捧,無限大均勻帶電平面和均勻帶電球面外的場強時,經分析可知這些帶電體系所產生的場強分布各自都具有一定的對稱性,可構建形狀適當的體系高斯面求解。對無限長均勻帶電細直棒,可構建以此細棒為軸線,過所求場強之點的無限長圓柱面為高斯面。對無限大均勻帶電平面,可在其兩側各作一個與其平行的無限大平面,構成高斯面。對均勻帶電球面,可構建一個與帶電球面同心並過待求場強點的球面作高斯面。利用這些高斯面可分別求出相應帶電體系產生的合場強。

構建局部高斯面解題

為區別於體系高斯面,可把只包圍帶電體系中部分電荷的高斯面稱為局部高斯面。既然帶電體系周圍空間各點的場強都是帶電體系各電荷產生的合場強,利用體系高斯面能正確求解,那利用局部高斯面也一定能正確求解。在構建高斯面必須滿足的兩個條件的前提下,局部高斯面的大小形狀還有一定任意性,但應該構建對於解題最簡便的高斯面。例如,求解均勻帶電球面產生的場強,可構建以帶電球面的球心為頂點,母線沿球的半徑,且大於球的半徑,底面是以母線為半徑的球面的一部份,並過求場強之點的圓錐形高斯面。求解無限大均勻帶電平面的場強,可構建兩端面平行於帶電平面,並各在帶電平面一側的垂直於帶電平面的圓柱面作高斯面。求解其它帶電體系的問題,也可以此類似作局部高斯面求解。有些問題的場強分布,整體而言無求解所必需的規律性,但局部看來則有之。對這樣的問題,就只能構建局部高斯面求解。例如,要求解外表面不規則的金屬體靜電平衡時表面一點的場強,就只能構建垂直帶電體表面的柱面高斯面,且柱面必須足夠短,兩端面必須足夠小,才能正確求解。

求解多個帶電體系產生的場強問題

由多個帶電體系產生的電場,其場強分布具有某種對稱性時,一般可用高斯定理求解。多個帶電體系都在周圍空間產生電場,所構建的任一高斯面上的實際場強都是所有帶電體系產生的場強的矢量和。但應該注意,解題中定性分析場強分布時,涉及到哪些帶電體系,所求出的場強就只是這些帶電體系產生的合場強,不包括未涉及的帶電體系所產生的場強。

政治定律

高斯第一個假設，是一般人都認為很自然的——畜牧者並沒有權利讓牛群吃麥。換言之，種麥的收成是耕耘者的私有產權。在這個情形下，牛群吃麥是可以的，但耕耘者卻有權收取費用。若畜牧者認為所要付出的費用（價錢）是有所不值，他就會約束牛群的行為，例如用欄桿將牛群隔開。但欄桿應築在那裡呢？答案是，並不一定在兩塊地的交界。

假若牛群吃麥所得的增值，在邊際上，是大過麥的損失，那么只要是市場的交易費用不太高，畜牧者與耕耘者就可互定會約，吃麥多少以市價而定。耕耘者得到市價的補償，就樂意接受麥的損失。但若牛群吃麥的增值，在邊際上是少過麥的損失，那么畜牧者就不願意付出牛群增加吃麥的市價。欄桿的位置（或約束牛群的程度），是以吃麥的市價而定。那就是說，在互定會約的情況下，欄桿的位置是會築在多吃一點麥對牛群的增值，跟麥的邊際損害市值相等。邊際上的利益等於邊際上的損害，兩塊地的生產總淨值就會是最高的。

高斯跟著作一個相反的假設，這就是牛群吃麥的權利是在畜牧者的手上。那就是說，雖然耕耘者可在自己的地上種麥，但牛吃麥的權利卻是畜牧者的私產。在這個假設下，牛吃麥的份量會否比第一個假設有所增加呢？高斯的答案是不會的。這是因為雖然畜牧者有權讓牛群免費吃麥，但耕耘者可將麥的市價，付給畜牧者，使畜牧者能有利地在邊際上約束牛群的行為。

那就是說，若牛吃麥的邊際增值是大過麥的市值損害，那么耕耘者就不可能以市價阻止牛吃麥；既然在邊際上麥的損失是少過牛的增值，讓牛多吃點麥是會增加社會生產的總淨值。但若在邊際上吃麥的增值是少過麥的損害，則耕耘者大可以以損失的市值，付給畜牧者，要後者去減少牛對麥的損害。畜牧者既然見收了一點錢而在邊際上約束牛群的行為，他的收入是有所增加，當然也樂意遵命。在互定契約下，欄桿位置的選擇，恰恰跟第一個相反的權利假設相同——在邊際上，牛群吃麥的增值跟麥的損害相等。兩塊地的生產總淨值也會是最高的。

高斯定律的主旨，就是不管權利誰屬，只要是清楚地界定是私有，市場的運作能力便會應運而起；權利的買賣者互定契約，使資源的使用達到最高的生產總淨值。這總值的衡量不是由政府隨意加減的，而是依消費者的喜好、所肯付出的代價而表達出來。當然，在以上畜牧和耕耘的例子中——或任何資源使用的例子——權利誰屬是會影響財富的分配，而分配不同可能對資源的使用有間接的效果。但單就在運用資源為社會作出最大收益的問題上，高斯定律是無懈可擊的。

在高斯的“社會耗費問題”一文內，高斯定律只不過是一個小貢獻。遠為重要的貢獻就是高斯將該定律引伸到有交易費用（非生產費用）的情況上，而從這引伸的演變，更能令我們明白計畫經濟和國有制的經濟困難。要將交易費用的演變在報章上向讀者解釋，是極其不易，因為這題目實在是湛深。但我仍可用些較淺的例子來讓讀者稍知大概。

假若在有清楚私產界定的情況下，畜牧者跟耕耘者在討價還價上發生了問題，或者在牛群吃麥多少的量度上發生了糾紛，那么以市價買賣的普通契約就難以達成協定。但既然資源運用的利害是私人的事，他們雙方大可利用一些交易費用較低而生產效率也較差的契約方式成交，例如，他們可以商議租用麥地的面積而不計麥的數量損失；或者他們也可以合股經營，以分賬的方法處理。

現在讓我們假設政府將以上提及的兩塊地收歸國有，用專家作決策，情況又會怎樣呢？第一、沒有市價的存在，牛群的增值多少或麥的損失多少用甚么標準來決定呢？專家可不能代表吃肉或吃麥的人的口味。第二、假若要築欄桿，位置從何而定？專家選錯了位置會受到甚么責罰？而有甚么準則可以斷定欄桿的位置是對了或是錯了的？第三、若建造欄桿的費用高，專家要用甚么準則來衡量這費用是過高或是不合算？第四、畜牧者及耕耘者的勞力要用甚么方法獎勵？用牛？用麥？抑或用其他非物質的方法？獎勵的多少又由誰來作決定？第五、專家的勞力又要怎樣計算才能保障生產的增加？我們又要用甚么方法去分別“專家”與“非專家”？

在這篇文章里我引用高斯的畜牧及耕耘的例子的主要原因，就是因為牛群是會走動，不容易控制。這一個特徵加強了界定及保障私有產權的困難，也增加了討價還價及議定契約的費用。我故意採用一個在私產下交易（非生產）費用較大的例子，去強調私產的弱點或困難。假若牛群是像蔬菜一樣，不會走動，交易費用將會較少，私產較易施行，但決定資源的使用及財富分配的經濟問題仍是驅之不去的。

在國有制下，這些經濟問題同樣存在，但因為制度不同，解決的方法有異。經濟進展的快慢，就是在乎哪一種方法可以在生產上取得較高的總淨值。引伸到交易或非生產費用的問題上，這總淨值當然也要除淨這些費用的。就是在畜牧及耕耘的例子中——一個私產不易施行的例子——我們也可見到國有制下要提高總淨值的困難，是要比私產的困難大得多。這是因為在不同制度下的交易（非生產）費用雖然性質不同，但這些費用在生產價值上的比重，共產是要比私產的高得多。

高斯定律最大的貢獻，是提醒我們在實踐上分析經濟制度時一定要考慮到那些可觀的交易或非生產的費用。我們20多年來的研究，實證資料堆積如山，所得到一個主要結果，就是只有在私產制度下，人類才會為自利的原故設法將這些費用的比重儘量減低。這是從高斯的理論所演變出來的對國有制的最大貢獻。