本原多項式

本原多項式

本原多項式是近世代數中的一個概念,是唯一分解整環上滿足所有係數的最大公因數為1的多項式。本原多項式不等於零,與本原多項式相伴的多項式仍為本原多項式。

基本介紹

  • 中文名:本原多項式
  • 外文名:Primitive Polynomial
  • 所屬學科:近世代數
  • 類型:多項式
  • 高斯引理:本原多項式的乘積還是本原多項式
  • 性質:本原多項式不等於零
定義,定理,套用,

定義

是唯一分解整環
上的多項式,如果
,則稱
上的一個本原多項式。(符號
表示最大公約數)
本原多項式滿足以下條件:
1)
是既約的,即不能再分解因式;
2)
可整除
,這裡的
3)
不能整除
,這裡

定理

高斯引理:本原多項式的乘積還是本原多項式。
證明:設
分別是n次與m次的本原多項式。
其中
這裡,當s>n或t>m時,規定
假定
不是本原的,則存在
上的不可約元
,使
。(式
表示
整除
已知
,設
中最先一個不能被
整除的元素分別為
,則
因為
,而
不整除
,所以
不整除
,這與
能整除
矛盾。
這就證明了
為本原多項式。

套用

1)在MATLAB中,本原多項式可以通過函式primpoly(x)來產生。
2)在MATLAB中,通過函式gfprimfd(m,'min')可以找到一個最小的本原多項式。

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