多元多項式的最大公因式是一元多項式最大公因式概念的推廣。可以從兩個文字推廣到任意多個文字的多項式，因此，任意個多元多項式都有最大公因式。
基本介紹
- 中文名：本原最大公因式
- 外文名：primitive greatest common factor
- 適用範圍：數理科學-高等數學
- 學科：數學
簡介,內容,本原多項式,
簡介
多元多項式的最大公因式是一元多項式最大公因式概念的推廣。通過行列式等初等變換求得。
內容
設
與
是數域 P上的 n 元多項式，若
則 d 稱為 f 與 g 的公因式。又若對 f，g 在 P 上的任意公因式
，都有 h|d，則 d 稱為 f，g 稱為互素的，亦稱互質的。
設
是數域 P 上的二元多項式，d(x,y) 是本原多項式。如果 d 是
的公因式，且的任意本原多項式的公因式整除 d，則 d 稱為的本原最大公因式。
對行矩陣
施行列的初等變換化成與它有相同本原公因式的行矩陣
。將 h(x,y) 表示為 x 多項式，求出其所有係數大最大公因式
。設
，則d(x,y) 就是的本原最大公因式。
仿照上面的方法，可以從兩個文字推廣到任意多個文字的多項式，因此，任意個多元多項式都有最大公因式。
本原多項式
設
是唯一分解整環
上的多項式，如果
，則稱
為
上的一個本原多項式。（符號
表示最大公約數）
本原多項式滿足以下條件：
1）
是既約的，即不能再分解因式；
2）可整除
，這裡的
；
3）不能整除
，這裡
。
