本原多項式

本原多項式是近世代數中的一個概念，是唯一分解整環上滿足所有係數的最大公因數為1的多項式。本原多項式不等於零，與本原多項式相伴的多項式仍為本原多項式。

基本介紹

• 中文名：本原多項式
• 外文名：Primitive Polynomial
• 所屬學科：近世代數
• 類型：多項式
• 高斯引理：本原多項式的乘積還是本原多項式
• 性質：本原多項式不等於零

定義

設是唯一分解整環 上的多項式，如果 ，則稱 為 上的一個本原多項式。（符號表示最大公約數）

本原多項式滿足以下條件：

1）是既約的，即不能再分解因式；

2）可整除，這裡的；

3）不能整除，這裡。

定理

高斯引理：本原多項式的乘積還是本原多項式。

證明：設 和 分別是n次與m次的本原多項式。

令

其中

這裡，當s>n或t>m時，規定 及 。

假定 不是本原的，則存在 上的不可約元 ，使。（式表示整除）

已知 ，設 及 中最先一個不能被整除的元素分別為 與 ，則

因為且，而 不整除 、 ，所以 不整除 ，這與能整除矛盾。

這就證明了 為本原多項式。

套用

1）在MATLAB中，本原多項式可以通過函式primpoly(x)來產生。

2）在MATLAB中，通過函式gfprimfd(m,'min')可以找到一個最小的本原多項式。