多元多項式

多元多項式(polynomial of several variables )是一元多項式的推廣，它是多項式理論研究的重要對象。有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)稱為n元多項式，簡稱多項式，n元多項式f中非零單項式的最高次數稱為多項式f的次數，記為 deg f。只含零單項式的多項式稱為零多項式，記為0，零多項式的次數規定為－∞。

基本介紹

• 中文名：多元多項式
• 外文名：multivariate polynomial
• 所屬學科：數學
• 相關概念：字典排序法、一元多項式等

基本知識

相關知識

設K是一個數域， 是幾個文字(也可稱為變數)， 是非負整數， ，稱

為一個單項式(monomial)。某個指數 表示變數 不出現，當所有的指數全部等於0時，相應的單項式就是常數項 ， 稱為此單項式的係數，當 ≠0時， 稱為此單項式的次數，係數為0的單項式稱為零單項式，簡記為0，零單項式的次數規定為 ，為了表示方便，常常把單項式(1)中各個字母的方冪看成一個n維向量

稱為這個單項式的指數向量。並把單項式(1)簡記為 ，又把向量 的分量之和表為 ，於是有(假設 )

顯然指數嚷店向量的分量都是非負整數，因此有 兩個單項式：

如果滿足 就被稱為同類項，也就是說， 與 是同類項若且唯若它們的指數向量相等，即 。

n元多項式的定義

有限多個單項婆斷迎式之和(假設其中不含同類項)

稱為n元多項式，簡稱多項式，n 元多項式 中非零單項慨刪寒式的最高次數稱為多項式 的次數，記為 。只含零單項式的多項式稱為零多項式，記為0，零多項式的次數規定為 ，例如若

則 。

有很多時候需要把多元多項式看成其中某一個變數，例如 的一元多項式

這裡的係數 都是多項式環 中的元素，我們把 作為某個變數 的一元多項式的次數稱為 關於 的次數，記為 。

和一元多項式一樣，對於n元多項式也可同樣地定義相等、相加、相減和相乘，例如當兩個單項式是同類項時，可以通過係數相加而合併成一項：

兩個單項式相乘則是把指數向量相加，再把係數相乘:

n元多項式的加法和乘法具有與一元多項式相同的性質，因此把數域K上所有以 為變數的n元多項式的集合記為

並稱為數域K上的n元多項式環。

多項式的排序問題

我們要研究單項式的排序問題，對於一元多項式，按各個項的次數來排列是最自然的，但是對於多元多項式，有相同次數的項不止一個，單按次數排列具有不確定性，所以有必要採用字典排列法。為此首先在指數向量的集合內定義一個序：對於 ，如果存在 使得

則稱 優於 ，記為 ，例如

從這個定義立即可以看出，對於任意兩個不相等的指數向量 ，不是 就是 ，兩者必居其一。而且關係“ ”還具有傳遞性，即從 與 可以得出 ，這說明“ ”確實是指數向量集合的一個序，利用指數向量的序就可以定義單項式的序，即

我們把這個序(包括指數向量的序以及單項式的序)稱為字典序(lexicographicorder)。這樣就可以把多項式中的項按字典序排列，當n=1時這種排列法就是降冪排列法，多項式中按字典排列法次序最前的非零項稱為此多項式的首項。

相關性質

字凳籃勸典排列法的首項有以下性質。

定理1

兩個非零多項式的乘積的首項等於這兩個多項式的首項的乘積。

證明：組擊擊譽設這兩個多項式是 ，它們的乘積是 ．設 的首項分別為

它們的乘積等於

乘積多項式h中的任意單項式槳斷狼去的指數向量具有 的形式，其中， 分別是 中的單項式的妹祖項指數向量，因此有

我們要證 ，並且等號成立若且唯若 。首先設 若 ，則一定存在i≤n使得

於是

即 。同理當 時有 因此

而且只要 或 有一個成立，就有 這說明(2)式確是h的首項而且h中沒有同類項會和它相消。

推論2

兩個非零多項式的乘積仍是非零多項式。

定理1

兩個非零多項式的乘積的首項等於這兩個多項式的首項的乘積。

證明：設這兩個多項式是 ，它們的乘積是 ．設 的首項分別為

它們的乘積等於

乘積多項式h中的任意單項式的指數向量具有 的形式，其中， 分別是 中的單項式的指數向量，因此有

我們要證 ，並且等號成立若且唯若 。首先設 若 ，則一定存在i≤n使得

於是

即 。同理當 時有 因此

而且只要 或 有一個成立，就有 這說明(2)式確是h的首項而且h中沒有同類項會和它相消。

推論2

兩個非零多項式的乘積仍是非零多項式。