收斂集列

收斂集列(convergent set sequence)是一類重要的集列，有極限的集列稱為收斂集列，常集列、單調升集列、單調降集列都是收斂集列。

基本介紹

• 中文名：收斂集列
• 外文名：convergent set sequence
• 所屬學科：數學（集合論）
• 簡介：有極限的集列
• 舉例：常集列、單調升集列等

基本介紹

定義 對於空間X的子集列，考慮下述條件：

(1)

(2) 若令，則K為非空緊集；

(3) 上述K為非空可數緊集；

(4) K的任意鄰域含有某個

滿足(1)，(2)，(4)時，稱為收斂於K，滿足(1)，(3)，(4)時，稱為擬收斂於K。設是空間X的(擬)收斂集列，若集列{G_i}滿足∅≠G_i⊂U_i與⊂G_i(對於任意i)，則{G_i}是(擬)收斂集列，(擬)收斂集列的連續像是(擬)收斂集列。

收斂集列的等價命題

下面是一組收斂集列的等價命題：

1.集列{A_n}_n∈N收斂於A。

2.(A_k)=A_k=A。

3.集列{A_n}_n∈N的任何子列收斂於A。

相關概念及結論

命題若為連續映射，且為X的收斂集列，則為Y的收斂集列。

這個命題收斂改為擬收斂命題也是成立的。

定義 空間X是點可數型(point-countable type)或擬點可數型是指對於X的任一點x，存在它的開鄰域列是收斂或擬收斂的，X是點可數型的充要條件是任意點被具有可數特徵的緊集包含。X是q空間是指若對於X的任意點x，存在它的鄰域列，使得若，則點列具有接觸點。

命題 (1) 可數型空間是點可數型的。

(2) 點可數型空間是擬點可數型的。

(3) 擬點可數型空間是q空間。

(4) 正則q空間是擬點可數型的。