偽緊空間(pseudo compact space)一類拓撲空間。若拓撲空間X上的每個實值連續函式都是有界的，則稱X是偽緊空間。
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。
基本介紹
- 中文名：偽緊空間
- 外文名：pseudo compact space
- 領域：數學
- 性質：拓撲空間
- 特點：空間上連續函式都有界
- 提出者：休伊特
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概念
偽緊空間(pseudo compact space)是一類拓撲空間。若拓撲空間X上的每個實值連續函式都是有界的，則稱X是偽緊空間。可數緊空間是偽緊空間。T4的偽緊空間是可數緊空間。偽緊空間的連續像是偽緊的。偽緊空間的概念是休伊特(Hewitt，E.)於1946年提出的。
拓撲
1.X與空集∅都屬於T;
2.T中任意兩個成員的交屬於T;
3.T中任意多個成員的並屬於T;
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T).
設T1與T2為集合X上的兩個拓撲。若有關係T1T2，則稱T1粗於T2，或T2細於T1。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
連續函式
連續函式是一類最基本、最重要的函式。若f是定義在區間I上的一元函式，或是定義在區域D上的多元函式，只要它在I或D上的每一點連續，即對I或D的任一點x0，f在I或D上的極限(分別理解為一元函式的極限或多元函式的極限)等於f(x0)，則f稱為I或D上的連續函式。連續函式是整體性質良好的函式。有限個連續函式的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續函式(在參與運算的各個函式的連續區域的交集上)。若一元函式f在區間I上連續，而一元函式g在f的值域f(I)上連續，則複合函式g°f在I上連續；連續的多元函式的複合也有類似性質。但是，連續函式的反函式與連續函式列的極限函式不一定仍為連續函式。在閉區間上連續的一元函式，或在有界閉區域上連續的多元函式，有一些在理論上與套用中十分重要和經常用到的性質，因而受到特別注意。這些性質主要是：若f是有界閉區域(閉區間)D上的(一元或多元)連續函式，則f在D上有界，且在D上達到最大值和最小值(最大值與最小值定理)；對於任意的x1，x2∈D，f在連結x1，x2的折(曲)線上取到f(x1)與f(x2)之間的一切值(介值定理)，若f(x1)·f(x2)<0，則x1，x2的連線上(f為一元函式時，在x1，x2之間)f(x)=0有解(根的存在定理)；在D上是一致連續的(康托爾定理)。最大最小值定理是外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))首先證明的，介值定理是波爾查諾(Bolzano，B.)(1817)與柯西(Cauchy，A.-L.)(1812)敘述並證明的，一致連續性定理是康托爾(Cantor，G.F.P.)與海涅(Heine，H.E.)(1812)發現的。
