調和分析

調和分析，數學的一門分科。主要研究函式展開成傅立葉級數或傅立葉積分，以及有關這種級數和積分的各種問題。它起源於物理學中將一個周期振盪分解為簡諧振盪的迭加的問題，已發展成為有廣泛套用的學科。

基本介紹

• 中文名：調和分析
• 外文名：harmonic analysis
• 定義：函式展開成傅立葉級數的運算
• 數學工具：傅立葉變換
• 套用：數學、信息處理、量子力學等
• 學科：數學

簡述

調和分析是現代分析數學的核心領域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學家為之傾倒與奮鬥。按照華羅庚先生的說法，把已知函式展開成Fourier級數的運算就叫做調和分析。事實上，調和分析也正是從Fourier級數和Fourier變換理論的研究開始發展壯大的。從物理的觀點，調和分析就是要把信號表示為基本波“諷和子”的超位置疊加。幾個世紀以來，調和分析已經形成了龐大的學科體系，並在數學、信息處理和量子力學等領域有著重要和深刻的套用。

調和分析的發展可以追溯到Fourier分析。近來調和分析發展的數學工具，例如小波變換和Gabor變換，都是某些場合(具有某種性質的空間，例如Bosov空間)中本質上最優的變換。調和分析已經成功地套用在發展泛函表示的新形式中，這些已經證明了調和分析具有重要的意義。Fourier變換和小波變換是套用於函式逼近的兩種典型工具。

相關概念

傅立葉級數：任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

傅立葉變換：Fourier變換是用無窮區間上的復正弦基函式和信號的內積描述了信號中總的頻率分布，它將原時域信號的研究轉換為在頻域上的Fourier係數的研究，Fourier分析是純頻域分析。只適用於確定性的平穩信號

分類

從套用角度來說，有效確定Fourier級數問題的運算稱為實用調和分析。有限調和分析是實用調和分析的主體框架，即從有限個數據所應計算的最恰當的項數的角度，從有限到有限的思想方法來解決實際問題的Fourier方法是有限調和分析的套用價值所在。再從物理的角度，人們可以發現量子力學中的測不準關係有著調和分析版的解釋，即Paley-Wiener定理所描述的非零緊支集廣義函式的Fourier變換沒有緊支集。

抽象調和分析是調和分析更深入的現代數學分支，即研究拓撲群上的調和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊群的Ponteyagin對偶理論是調和分析特徵在現代數學處理中的合適寫照。對一般的非Abel局部緊群來說，調和分析是與酉群的表示論密切相關的。經典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質可以通過對緊群的Peter-Weyl定理有所升華體現。當群既非Abel又非緊群時，一般的抽象調和分析理論還不是很完善。例如，是否此時存在Ptancherel定理的類似物還不知道．但是在許多特殊情況下，通過無窮維表示技術是可以分析一定的相關問題的。