基本介紹
- 中文名：分離公理
- 外文名：axiom of separation
- 套用學科：拓撲學
- 性質：限制條件的其中一種
- 別稱：吉洪諾夫分離公理
- 所屬領域：數學
初步定義,主要定義,各空間的關係,
初步定義
在定義分離公理之前，讓我們先了解在拓撲空間中，可分離的集合(和點)的具體含意。（須注意的是，可分離的集合不一定等同於下一節所定義的“分離空間”。）
分離公理是利用拓撲的方法來分辦不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的，更要這些元素是“拓撲可區別的”；不只要拓撲空間內的子集是不相交的，更要這些子集是（以某種方式）“可分離的”。分離公理聲稱，無論如何，若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的，也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。
設X為一拓撲空間，A,B ⊆ X，R是實數集，定義：
- 拓撲可區分
- A,B稱為拓撲可區分的，若且唯若A，B的鄰域系U(A)和U(B)不相等（即，存在某個A的鄰域，不是B的鄰域，或反之）。
- 可分離
- A,B稱為可分離的，若且唯若A∩B和A∩B都為空。（A是A的閉包）。注意：A∩B可以不為空。
- 鄰域可分離
- A,B稱為鄰域可分離的，若且唯若存在A的鄰域U和B的鄰域V，使得U∩V為空。
- 閉鄰域可分離
- A,B稱為閉鄰域可分離的，若且唯若存在A的閉鄰域U和B的閉鄰域V，使得U∩V為空。
- 函式可分離
- A,B稱為函式可分離的，若且唯若存在連續函式f: X→R，使得f(A)={0}，f(B)={1}。
- 函式完全分離
- A,B稱為函式完全分離的，若且唯若存在連續函式f: X→R，使得f({0})=A，f({1})=B。
對於X中的點x，y（或點x和子集A），稱它們為拓撲可分，可分離，鄰域可分離等等，若且唯若單元素集合{x}和{y}（或{x}和子集A）是拓撲可分，可分離，鄰域可分離等等。
以上這些條件是按強度依序給出的：任何兩個拓撲可區分的點也必然是相區分的，任何兩個分離的點也必然是拓撲可區分的。更進一步地說，任何兩個可分離的集合也必然是不相交的，任何兩個領域上可分離的集合也必然是可分離的，以此類推。
主要定義
下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。
大部分的分離公理都會另一個等價的定義；下面所給出的定義會維持一致的模式，以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。
在下面所有的定義之中，X也還是個拓撲空間，而所有的函式也都被假設為連續的。
- X稱為 T0空間或“柯爾莫果洛夫空間”，若在X內，任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。
- X稱為R0空間或“對稱空間”，若在X內，任意兩個拓撲可區分的點都是可分離的。
- X稱為T1空間、“可及空間”或“弗雷歇空間”，若在X內，任意兩個相區別的點都是可分離的。因此，X為T1空間，若且唯若X同時為T0及R0空間。
- X稱為R1空間或“預正則空間”，若在X內，任意兩個拓撲可區分的點都是鄰域上可分離的。R1空間必然也是R0空間。
- X稱為T2空間或“豪斯多夫空間”，若在X內，任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。因此，X為豪斯多夫空間，若且唯若X同時為T0及R1空間。豪斯多夫空間必然也是T1空間。
- X稱為T2½空間或“烏雷松空間”，若在X內，任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T2½空間必然也是豪斯多夫空間。
- X稱為完全豪斯多夫空間或“完全T2空間”，若在X內，任意兩個相區別的點都是函式上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T2½空間。
- X稱為正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為鄰域上可分離的（實際上，在一個正則空間裡，x和F也同樣會是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R1空間。
- X稱為正則豪斯多夫空間或“T3空間”，若X同時為T0及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T2½空間。
- X稱為完全正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為函式上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。
- X稱為吉洪諾夫空間、“T3½空間”、“完全T3空間”或“完全正則豪斯多夫空間”，若X同時為T0及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。
- X稱為正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的（實際上，在正規空間裡，任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函式上可分離的；這稱為烏雷松引理）。
- X稱為正規豪斯多夫空間或“T4空間”，若X同時為T1及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。
- X稱為完全正規空間，若在X內，任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。
- X稱為完全正規豪斯多夫空間、“T5空間”或“完全T4空間”，若X同時為完全正規及T1空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。
- X稱為完美正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是函式上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。
- X稱為完美正規豪斯多夫空間、“T6空間”或“完美T4空間”，若X同時為完美正規及T1空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。
各空間的關係
T0空間很特別，因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上（如完全正則空間加上T0即為吉洪諾夫空間），也可以由某個空間中刪去此一性質（如豪斯多夫空間刪去T0即為R1空間）；更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其套用在分離公理時，便會導致如下表所列的關係：
| T0版本 | 無T0版本 |
|---|---|
T0 | － |
T1 | R0 |
豪斯多夫(T2) | R1 |
T2½ | 無給定名稱 |
完全豪斯多夫 | 無給定名稱 |
正則豪斯多夫(T3) | 正則 |
吉洪諾夫(T3½) | 完全正則 |
正規T0 | 正規 |
正規豪斯多夫(T4) | 正規正則 |
完全正規T0 | 完全正規 |
完全正規豪斯多夫(T5) | 完全正規正則 |
完美正規T0 | 完美正規 |
完美正規豪斯多夫(T6) | 完美正規正則 |
在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運算，右邊的空間加上T0即為左邊的空間，左邊的空間刪去T0即為右邊的空間。
除了T0的加上及刪去之外，各空間之間的關係則可由下圖指明出來：
在圖中，無T0版本的空間在斜線的左邊，T0版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思： P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規（normal）、R為正則（regular）。 黑點代表該空間沒有給定名稱。
結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知，只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如，若有一個空間同時為完全正規（CN）及完全豪斯多夫（CT2）空間，則查看兩點向上的分支，會發覺為“·/T5”。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T0端（即使完全正規空間不是），最後得到的空間便會在斜邊的T0端。亦即，完全正規完全豪斯多夫空間即為T5空間。
再看一次上圖，正規空間及R0空間結合在一起，由於會經過許多右側的分支，也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質，結合正規空間及R0空間而成的空間一般稱為“正規正則空間”。基於類似的想法，正規T1空間通常稱為“正規豪斯多夫空間”。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。
